トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第三話 ＜W.Heisenberg＞ 「量子力学の誕生」メモ

☆振幅をnの関数で表す

・Bohrの量子条件を使う

　　　∫ｐｄｑ＝ｎｈ

　　この式は「電子の軌道はｈの整数倍」であることを表す

　①∫　：1周期分の積分で∫(0→1/ν)
　②ｐ　：運動量で、ｐ＝ｍｑ'
　③ｄｑ：ｄｑ＝（ｄｑ／ｄｔ）ｄｔ＝ｑ'ｄｔ

・①〜③よりBohrの量子条件は次式となる
　　
　　　∫(0→1/ν) ｍ・ｑ'・ｑ'ｄｔ＝ｎｈ

　この式のｑに電子の位置を表す式を代入する。

　　　ｑ＝Ｑ（ｎ、１）ｅ^i2πνt＋Ｑ（ｎ、−１）ｅ^-i2πνt

　1階微分は

　　　ｑ'＝i2πνＱ（ｎ、１）ｅ^i2πνt−i2πνＱ（ｎ、−１）ｅ^-i2πνt

　これをBohrの式に代入する

　　　∫(0→1/ν) ｍ・（i2πνＱ（ｎ、１）ｅ^i2πνt

　　　　　　−i2πνＱ（ｎ、−１）ｅ^-i2πνt）^2ｄｔ＝ｎｈ

　整理して

　　　−４π^2 ν^2 ｍ∫(0→1/ν)（Ｑ（ｎ、１）^2 ｅ^i4πνt

　　　　　　＋Ｑ（ｎ、−１）^2 ｅ^-i4πνt −２Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１））ｄｔ

　　　　　　＝ｎｈ

　積分を分ける

　　　−４π^2 ν^2 ｍ（Ｑ（ｎ、１）^2∫(0→1/ν)ｅ^i4πνtｄｔ

　　　　　　＋Ｑ（ｎ、−１）^2∫(0→1/ν)ｅ^-i4πνtｄｔ

　　　　　　− ２Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１））∫(0→1/ν)１ｄｔ）＝ｎｈ

　ここで、ｅ^i4πνtとｅ^-i4πνtはそれぞれ単純な波を表し、1周期積分すると０になる。
　また、∫(0→1/ν)１ｄｔにおいて１を０から１／νまで積分すると、面積は１／νになる。

　　　−４π^2 ν^2 ｍ（０＋０− ２Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１）・１／ν）＝ｎｈ

　　　Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１）＝（ｈ／８π^2 ｍν）ｎ

　「ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ、τ）ｅ^i2πν(n,τ)t」のｑは実数、Ｑ（ｎ、τ）は複素数なので
　複素共役をとる。

　　　Ｑ（ｎ、τ）*＝Ｑ（ｎ、−τ）

　なので、

　　　Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１）＝Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、１）*

　となり、

　　　Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、−１）＝

　　　Ｑ（ｎ、１）Ｑ（ｎ、１）*＝（ｈ／８π^2 ｍν ）ｎ

　複素数とその複素共役との積は、その絶対値に２乗になるので、

　　　｜Ｑ（ｎ、１）｜^2＝ｎｈ／（８π^2 ｍν ）

　これが単振動の振幅Ｑ（ｎ、τ）をｎの関数で表した結果。