午前中は少し雨が降り、午後は回復したものの蒸し暑かった。
読書して昼寝してチンク号に給油した。
- 作者: トランスナショナルカレッジオブレックス
- 出版社/メーカー: ヒッポファミリークラブ
- 発売日: 1991/08
- メディア: 単行本
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トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」
第三話 <W.Heisenberg> 「量子力学の誕生」メモ
・量子力学のかけ算を考える
x=Σ[τ]X(n;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
y=Σ[τ]Y(n;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
をかけ算すると、
xy=Σ[τ]Σ[τ']X(n;n−τ')Y(n−τ';n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
となる。
☆Heisenbergの式が「エネルギー保存則」を満たすことを確認する
・エネルギーの保存則(創造もされず破壊もされない科学法則)
運動エネルギー + 位置エネルギー=一定
m(q’)^2/2 + V(q) = W
・単振動の場合、位置エネルギーV(q)はkq^2/2なので単振動のエネルギーは次式とな
る。
W=m(q’)^2/2+kq^2/2
・q^2、(q’)^2がどうなるか考える。
q=Σ[τ]Q(n;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
q^2=Σ[τ]Σ[τ’]Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
q’=Σ[τ]i2πν(n;n-τ)Q(n;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
(q’)^2=Σ[τ]Σ[τ’]−4π^2ν(n;n−τ’)ν(n−τ’;n−τ)
Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
・kの形を変える
k/m=(2πν)^2=4π^2ν^2から、k=4π^2mν^2
となる。
・エネルギーの式に代入して計算する。
W=m/2Σ[τ]Σ[τ’]−4π^2ν(n;n−τ’)ν(n−τ’;n−τ)
Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
+(4π^2mν^2/2)Σ[τ]Σ[τ’]Q(n;n−τ’)
Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
=2π^2mΣ[τ]Σ[τ’]−ν(n;n−τ’)ν(n−τ’;n−τ)
Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
+2π^2mν^2Σ[τ]Σ[τ’]
Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
=2π^2mΣ[τ]Σ[τ’]{ν^2−ν(n;n−τ’)ν(n−τ’;n−τ)}
Q(n;n−τ’)Q(n−τ’;n−τ)e^i2πν(n;n-τ)t
・単振動の振幅と振動数を求めたとき、nに関係なく
「1コ内側に遷移した時の振動数はν」
「1コ外側に遷移した時の振動数は−ν」
であり、Q(n:n−τ)は、この2つの場合だけ値を持ち、あとは全部0であった。
ν(n;n−1)=ν
ν(n;n+1)=−ν
Q(n;n−1)≠0
Q(n;n+1)≠0
Q(n;n−τ)=0 (τ≠±1)
W=の式でQ(n;n−τ’)とQ(n−τ’;n−τ)が「どちらも」1コだけ遷移する
場合以外の項は全て0になる。
τ’=1の場合
Q(n;n−1)Q(n−1;n−2) (τ=2)
Q(n;n−1)Q(n−1;n−0) (τ=0)
τ’=−1の場合Q(n;n+1)Q(n+1;n+2) (τ=ー2)
Q(n;n+1)Q(n+1;n−0) (τ=0)
振幅Q(n:n−τ’)Q(n−τ’:n−τ)はこの4通りの場合しか値をもたない。
そのときの振動数は以下となる。ν(n;n−1)ν(n−1;n−2)=内・内=ν・ν=ν^2
ν(n;n−1)ν(n−1;n−0)=内・外=ν・(−ν)=−ν^2
ν(n;n+1)ν(n+1;n+2)=外・外=(−ν)・(−ν)=ν^2
ν(n;n+1)ν(n+1;n−0)=外・内=(−ν)・ν=−ν^2
上式をエネルギーの式に代入する。
(τ’=1、τ=2)
W=2π^2m(ν^2−ν^2Q(n;n−1)Q(n−1;n−2)e^i2πν(n;n-2)t(τ’=1、τ=0)
+2π^2m{ν^2−(−ν^2)}Q(n;n−1)Q(n−1;n)e^i2πν(n;n)t(τ’=−1、τ=−2)
+2π^2m(ν^2−ν^2)Q(n;n+1)Q(n+1;n+1)e^i2πν(n;n+2)t(τ’=−1、τ=0)
+2π^2m{ν^2−(−ν^2)}Q(n;n+1)Q(n+1;n)e^i2πν(n;n)t
第1項と第3項が消える。
W=4π^2mν^2Q(n;n−1)Q(n−1;n)e^i2πν(n;n)t
+4π^2mν^2Q(n;n+1)Q(n+1;n)e^i2πν(n;n)t
ν(n;n)は、nからnへの遷移なのでν(n;n)=0となる。
e^i2πν(n;n)t=e^i2π0t=1
よって次式となる。
W=4π^2mν^2{Q(n;n−1)Q(n−1;n)
+Q(n;n+1)Q(n+1;n)}
複素共役を使う。
Q(n−1;n)=Q*(n;n−1)
Q(n;n+1)=Q*(n+1;n)
W=4π^2mν^2{Q(n;n−1)Q*(n;n−1)
+Q*(n+1;n)Q(n+1;n)}
さらに
Q(n−1;n)Q*(n;n−1)=|Q(n−1;n)|^2
Q*(n+1;n)Q(n+1;n)=|Q(n+1;n)|^2
なので、次式となる。
W=4π^2mν^2{|Q(n−1;n)|^2+|Q(n+1;n)|^2}
これが単振動のエネルギー。
この式には時間tが含まれていないため時間変化せず、エネルギー保存則が成り立って
いる。
単振動のエネルギーの式に光の強さを代入すると
|Q(n;n−1)|^2=hn/(8π^2 mν )
W=4π^2mν^2{|Q(n−1;n)|^2+|Q(n+1;n)|^2}
=4π^2mν^2{hn/(8π^2 mν )+h(n+1)/(8π^2 mν )}
=4π^2mν^2×h/(8π^2 mν )(n+n+1)
=hν(2n+1)/2
=hν(n+1/2)
となる。
Bohrの振動数関係ν=(Wn−Wm)/hを満たすか確認する。
ν(n;n−1)=(W(n)−W(n-1))/h
=(hν(n+1/2)−hν(n−1+1/2))/h
=ν
単振動の場合「1コ内側に遷移した時の振動数はν」なので、Bohrの振動数関係を満たす。
・Heisenbergの方法で計算した「エネルギー」は「エネルギーがみたさなければならない
条件」をすべて満たしていた。・この「エネルギー」はqが「電子の位置」ではないため、古典力学のエネルギーとは
異なるが、「エネルギー保存則」と「Bohrの振動数関係」を満足する。⇒量子力学のエネルギー