雨が降ったり止んだりの一日だった。期日前投票に行って、読書した。
- 作者: トランスナショナルカレッジオブレックス
- 出版社/メーカー: ヒッポファミリークラブ
- 発売日: 1991/08
- メディア: 単行本
- 購入: 1人 クリック: 3回
- この商品を含むブログ (3件) を見る
ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ ｶﾚｯｼﾞ ｵﾌﾞ ﾚｯｸｽ編 「量子力学の冒険」
第三話 ＜W.Heisenberg＞ 「量子力学の誕生」メモ
＜マトリックス＞
・Heisenbergの数式はマトリックスで表すことができる。
・マトリックスの横の並びを「行」、縦の並びを「列」、一つ一つの数を「要素」という。
・マトリックスは一般に Ａnn'と書く。
・古典力学では単純な波のたし合わせ（ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ、τ）ｅ^i2πν(n,τ)t)は位置
になる。・量子力学の「遷移成分のたし合わせ（ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ；ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t)」
には意味がない・一つの遷移成分 Ｑ（ｎ；ｎ−τｅ^i2πν(n;n-τ)t を考え、ｑはこの遷移成分の集まり
と考える。
⇒マトリックスで表すことができる
・ｎ−τをｎ’と書くことにすると、遷移成分は次式で表せる。
Ｑｎｎ’ｅ^i2πνnn'τ
・上記をマトリックスｑのｎｎ’要素ｑｎｎ’とすると、マトリックスｑは以下となる。
｜ｑ11 ｑ12 ｑ13 ・・・｜
｜ｑ21 ｑ22 ｑ23 ・・・｜
ｑ＝｜ｑ31 ｑ32 ｑ33 ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
・このマトリックスｑを量子力学における「位置」と呼ぶ。
・位置ｑがマトリックスになるので、量子力学のことばは全てマトリックスで表される。
☆マトリックスが満たすべき条件
量子力学の振幅の性質
Ｑ（ｎ；ｎ−τ）*＝Ｑ（ｎ−τ；ｎ）
をマトリックスで表すと、
Ｑｎｎ’＝Ｑｎ’ｎ
となる。
このことよりマトリックスｑがもつ性質を調べる。
マトリックスｑの要素ｑｎｎ’は
ｑｎｎ’＝Ｑｎｎ’ｅ^i2πνnn'τ
であり、この複素共役をとる。
ｑｎｎ’*＝Ｑｎｎ’*ｅ^-i2πνnn'τ
Ｑｎｎ’*＝Ｑｎ’ｎ、−νｎｎ’＝νｎ’ｎ（−ν（ｎ；ｎ−τ）＝ν（ｎ−τ；ｎ）を
今使っている記号で表したもの）だから、ｑｎｎ’*＝Ｑｎ’ｎｅ^i2πνn'nτ
＝ｑｎ’ｎ
つまり、
ｑｎｎ’*＝ｑｎ’ｎ
となり、これをマトリックスで書くと以下となる。
｜ｑ11 ｑ12 ｑ13 ・・・｜ ｜ｑ11* ｑ21* ｑ31* ・・・｜
｜ｑ21 ｑ22 ｑ23 ・・・｜ ｜ｑ12* ｑ22* ｑ32* ・・・｜
｜ｑ31 ｑ32 ｑ33 ・・・｜＝｜ｑ13* ｑ23* ｑ33* ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜ ｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜ ｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜ ｜ ・ ・ ・ ・・・｜
・対角線を中心に行と列を入れ替えて複素共役を取ったマトリックスが、元のものと等しく
なるようなマトリックスを「エルミマトリックス」と言う。
⇒物理量は全て、エルミマトリックスで表せる
☆計算ルール
・マトリックスの足し算：「要素ごと」の足し算をする
ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ；ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t
ｑ’＝Σ[τ]ｉ2πν(n;n-τ)Ｑ（ｎ；ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t
ｄ ｜ｑ11 ｑ12 ・・｜ ｜ｑ’11 ｑ’12 ・・｜
― ｜ｑ21 ｑ22 ・・｜＝｜ｑ’21 ｑ’22 ・・｜
ｄｔ｜ ・ ・ ・・｜ ｜ ・ ・ ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜ ｜ ・ ・ ・・｜
｜ｉ２πν11Ｑ11ｅ^i2πν11t ｉ２πν12Ｑ11ｅ^i2πν12t・・｜
＝｜ｉ２πν21Ｑ21ｅ^i2πν11t ｉ２πν12Ｑ22ｅ^i2πν22t・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
・かけ算
｜ｘ11 ｘ12 ・・｜ ｜ｙ11 ｙ12 ・・｜
ｘ＝｜ｘ21 ｘ22 ・・｜ ｙ＝｜ｙ21 ｙ22 ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜ ｜ ・ ・ ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜ ｜ ・ ・ ・・｜
を使用して一般的に書くと、
｜ｘ11ｙ11＋ｘ12ｙ21 ・・ ｘ11ｙ12＋ｘ12ｙ22 ・・｜
ｘｙ＝｜ｘ21ｙ11＋ｘ22ｙ21 ・・ ｘ21ｙ12＋ｘ22ｙ22 ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
｜Σ[n]ｘ1nｙn1 Σ[n]ｘ1nｙn2・・｜
＝｜Σ[n]ｘ2nｙn1 Σ[n]ｘ2nｙn2・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
｜ ・ ・ ・・｜
となり、マトリックス要素（ｘｙ）ｎｎ’は、
（ｘｙ）ｎｎ’＝Σ[n'']ｘnn''ｙn''n'
となる。
マトリックスｘ、ｙが
ｘｎｎ’＝Ｘnn'ｅ^i2πνnn't
ｙｎｎ’＝Ｙnn'ｅ^i2πνnn't
の場合は次式となる。
（ｘｙ）ｎｎ’＝Σ[n'']Ｘnn''ｅ^i2πνnn''t・Ｙn''n'ｅ^i2πνn''n't
＝Σ[n'']Ｘnn''・Ｙn''n'ｅ^i2π(νnn''+νn''n')t
振動数の性質 νnn''＋νn''n'＝νnn' を使うと次式となる。
（ｘｙ）ｎｎ’＝Σ[n'']Ｘnn''・Ｙn''n'ｅ^i2πνnn't
これはHeisenbergが決めた、かけ算のルールと同じ。
「Heisenbergの計算方法」
ｑ＝Σ[τ]Ｑ（ｎ；ｎ−τ）ｅ^i2πν(n;n-τ)t
↓
Ｆ＝ｍｑ’’
↓
∫ｐｄｑ＝ｎｈ
↓
Ｑ、νが求まる
「マトリックスの計算方法」
｜ｑ11 ｑ12 ｑ13 ・・・｜
｜ｑ21 ｑ22 ｑ23 ・・・｜
｜ｑ31 ｑ32 ｑ33 ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜↓
Ｆ＝ｍｑ’’
↓
∫ｐｄｑ＝ｎｈ
↓
Ｑ、νが求まる
