- 作者: トランスナショナルカレッジオブレックス
- 出版社/メーカー: ヒッポファミリークラブ
- 発売日: 1991/08
- メディア: 単行本
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ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ ｶﾚｯｼﾞ ｵﾌﾞ ﾚｯｸｽ編 「量子力学の冒険」
第三話 ＜W.Heisenberg＞ 「量子力学の誕生」メモ
・Hamiltonの正準運動方程式は、Newtonの運動方程式Ｆ＝ｍｑ’’をｐ、ｑの微分の形で
表したもの。ｄｑ／ｄｔ＝∂Ｈ／∂ｐ
ｄｐ／ｄｔ＝−∂Ｈ／∂ｑ
・Ｈは「ハミルトニアン」で、エネルギーをｐ、ｑの関数の形にしたもの。
Ｈ（ｐ、ｑ）＝（１／２ｍ）ｐ^2＋Ｖ（ｑ）
単振動の場合、位置エネルギーは次式となる。
Ｖ（ｑ）＝（ｋ／２）ｑ^2
単振動のハミルトニアンは次式となる。
Ｈ（ｐ、ｑ）＝（１／２ｍ）ｐ^2＋（ｋ／２）ｑ^2
これを「Hamiltonの正準運動方程式」に入れる。
ｄｑ／ｄｔ＝∂Ｈ／∂ｐ＝∂／∂ｐ（（１／２ｍ）ｐ^2＋（ｋ／２）ｑ^2））
＝ｐ／ｍ＝ｖ
これは、ｄｑ／ｄｔ＝ｑ’が速度ｖであることを表す。
もう一方は次式となる。
ｄｐ／ｄｔ＝−∂Ｈ／∂ｑ＝−∂／∂ｑ（（１／２ｍ）ｐ^2＋（ｋ／２）ｑ^2））
＝−ｋｑ＝Ｆ
ｄｐ／ｄｔ＝ｍ（ｄｖ／ｄｔ）＝ｍｑ’’なので、Ｆ＝ｍｑ’’と同じことになる。
・Newtonの運動方程式とHamiltonの正準運動方程式は実質的には同じであるが、
Hamiltonの正準運動方程式のほうが数学的に美しい。
・Hamitonの運動方程式とｆ（ｐ、ｑ）の式を見比べて、ｆをＨに書きかえる。
ｄｑ／ｄｔ＝∂Ｈ／∂ｐ
ｄｐ／ｄｔ＝−∂Ｈ／∂ｑ
∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｑ＝（２πｉ）／ｈ（ｐｆ−ｆｐ）
∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｐ＝（２πｉ）／ｈ（ｑｆ−ｆｑ）
↓
∂Ｈ／∂ｑ＝（（２πｉ）／ｈ）（ｐＨ−Ｈｐ）
∂Ｈ／∂ｐ＝−（（２πｉ）／ｈ）（ｑＨ−Ｈｑ）
これをHamiltonの正準運動方程式と合体させると次式となる。
ｄｐ／ｄｔ＝−（（２πｉ）／ｈ）（ｐＨ−Ｈｐ）
ｄｑ／ｄｔ＝−（（２πｉ）／ｈ）（ｑＨ−Ｈｑ）
これをｐとｑの関数のｇを考えて一つにまとめると次式となる。
ｄｇ／ｄｔ＝−（（２πｉ）／ｈ）（ｇＨ−Ｈｇ）
上式は「Heisenbergの運動方程式」と呼ばれている。
Newtonの運動方程式を書きかえた理由＜三つの利点＞
１．「エネルギーの保存則」が、どんな場合でも成り立つことが証明できる。
２．「Bohrの振動数関係」がどんな場合でも成り立つことが証明できる。
３．問題が「固有値問題」になる。
１．エネルギー保存
・エネルギーの保存がどんな場合でも成り立つか
Heisenbergの運動方程式でｇはｐ、ｑの関数であれば何でも良い。
ｄｇ／ｄｔ＝−（２πｉ／ｈ）（ｇＨ−Ｈｇ）
エネルギーを表すマトリックスのハミルトニアンは、ｐ、ｑの関数である。
Ｈ（ｐ、ｑ）＝（１／２ｍ）ｐ^2＋Ｖ（ｑ）
Heisenbergの運動方程式のｇをＨとして考えると次式となる。
ｄＨ／ｄｔ＝−（２πｉ／ｈ）（ＨＨ−ＨＨ）
ＨＨ−ＨＨ＝０なので、
ｄＨ／ｄｔ＝０
となる。
・エネルギーの時間変化ｄＨ／ｄｔが０であり、「エネルギーが時間変化しない」ので
どんな場合にもエネルギーが保存している。
エネルギーＨを各要素ごとに見る。
Ｈｎｎ’＝Ｈ_ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
（Ｈ_ｎｎ’：振幅）
・Ｈｎｎ’は時間ｔを含むので時間変化するが、ｎ＝ｎ’の時は時間変化しない。
・ｎ＝ｎ’の時の振動数νｎｎは「ｎからｎへ遷移した時の振動数」なので０になる。
Ｈｎｎ＝Ｈ_ｎｎｅ^i2πνnnt＝Ｈ_ｎｎｅ^i2πν0t＝Ｈ_ｎｎ
・マトリックスＨが時間変化しないので、マトリックスＨの要素のうち時間変化しない
ｎ＝ｎ’の対角要素Ｈｎｎだけが値を持って他は全部０にならなければならない。
｜Ｈ11 ０ ０ ・・・｜
｜ Ｈ22 ０ ・・・｜
｜ Ｈ33 ・・・｜
このマトリックスＨの対角要素の値をＷ1、Ｗ2、Ｗ3・・・とすると、マトリックスＨは
次式となる。｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
｜ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜ Ｗ3 ・・・｜
Ｈｎｎ’＝Ｗｎδｎｎ’
となる。（δｎｎ’：ｎ＝ｎ’の時は１、その他は０）
２．Bohrの振動数関係
・Heisenbergの運動方程式からBohrの振動数関係が成り立つことを証明する。
ｄｇ／ｄｔ＝−（２πｉ／ｈ）（ｇＨ−Ｈｇ）
Heisenbergの運動方程式の中のｇもマトリックスで、その要素は以下で表される。
ｇｎｎ’＝Ｇｎｎ’ｅ^i2πνnn't
Heisenbergの運動方程式を右辺と左辺に分け、それぞれの要素を見る。
左辺ｄｇ／ｄｔの要素は、
（ｄｇ／ｄｔ）ｎｎ’＝ｉ２πνｎｎ’Ｇｎｎ’ｅi2πνnn't
Ｇｎｎ’ｅi2πνnn't＝ｇｎｎ’なので次式となる。
左辺＝ｉ２πνｎｎ’ｇｎｎ’
右辺を考える
（−（（２πｉ）／ｈ）（ｇＨ−Ｈｇ））ｎｎ’
＝−（２πｉ／ｈ）（Σ[n'']ｇｎｎ’’Ｈｎ’’ｎ’
−Σ[n'']Ｈｎｎ’’ｇｎ’’ｎ’）
エネルギーＨは対角線マトリックスになるので
Ｈｎｎ’＝Ｗｎδｎｎ’
を代入すると次式となる。
Ｈｎ’’ｎ’＝Ｗｎ’’δｎ’’ｎ’
Ｈｎｎ’’＝Ｗｎδｎｎ’’
＝−（２πｉ／ｈ）（Σ[n'']ｇｎｎ’’Ｗｎ’’δｎ’’ｎ’
−Σ[n'']Ｗｎδｎｎ’’ｇｎ’’ｎ’）
クロネッカーδｎ’’ｎ’はｎ’’＝ｎ’の時だけ１になり、それい以外は０となる。
δｎｎ’’もｎ＝ｎ’’の時だけ１で他は０なので、Σ[n'']が消える。＝−（２πｉ／ｈ）（ｇｎｎ’Ｗｎ’−Ｗｎｇｎｎ’）
＝−（２πｉ／ｈ）（Ｗｎ’−Ｗｎ）ｇｎｎ’
＝（２πｉ／ｈ）（Ｗｎ−Ｗｎ’）ｇｎｎ’
＝２πｉ（（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ）ｇｎｎ’
ここで、
左辺＝ｉ２πνｎｎ’ｇｎｎ’
右辺＝２πｉ（（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ）ｇｎｎ’
なので、
ｉ２πνｎｎ’ｇｎｎ’＝２πｉ（（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ）ｇｎｎ’
νｎｎ’＝（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ
となり、Bohrの振動数関係がいつでも成り立つことが証明された。
・スペクトルの「振幅」と「振動数」を求めるにはHeisenbergの運動方程式を解けば良いが、
Bornは運動方程式を解かずに直接Ｑ、νを求める方法を見つけ、それが「固有値問題」。
＜第一段階 小文字のｐ、ｑと大文字のＰ、Ｑ＞
・スペクトルの振幅Ｐｎｎ’、Ｑｎｎ’を集めてマトリックスを作る。
｜Ｐ11 Ｐ12 Ｐ13・・・｜
Ｐ＝｜Ｐ21 Ｐ22 Ｐ23・・・｜
｜Ｐ31 Ｐ32 Ｐ33・・・｜、
｜Ｑ11 Ｑ12 Ｑ13・・・｜
Ｑ＝｜Ｑ21 Ｑ22 Ｑ23・・・｜
｜Ｑ31 Ｑ32 Ｑ33・・・｜
・「振幅Ｐｎｎ’、Ｑｎｎ’を求める」ことは、この「マトリックスＰ、Ｑを求める」ことと
同じことになる。
・このマトリックスＰ、Ｑは次の性質がある。
ｆ（ｐ、ｑ）ｎｎ’＝ｆ（Ｐ，Ｑ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
「小文字の関数は、大文字の関数にｅ^i2πνnn'tをつければ良い」
・ｆ（ｐ、ｑ）＝ｐやｆ（ｐ、ｑ）＝ｑの場合には以下となって良い
ｐnn'＝Ｐｎｎ’ｅ^i2πνnn't
ｑnn'＝Ｑｎｎ’ｅ^i2πνnn't
・たし算の場合を考える。
（ｐ＋ｑ）nn'＝（Ｐｎｎ’＋Ｑｎｎ’）ｅ^i2πνnn't
⇒「小文字の関数は、大文字の関数×ｅ^i2πνnn't」になる
・かけ算の場合を考える。
（ｐｑ）nn'＝Σ[n'']ｐnn''ｑn''n'
＝Σ[n'']Ｐｎｎ’’ｅ^i2πνnn''tＱｎ’’ｎ’ｅ^i2πνn''n't
＝Σ[n'']Ｐｎｎ’’Ｑｎ’’ｎ’ｅ^i2πν(nn''+n''n')t
＝Σ[n'']Ｐｎｎ’’Ｑｎ’’ｎ’ｅ^i2πνnn't
＝（ＰＱ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
⇒「小文字の関数は、大文字の関数×ｅ^i2πνnn't」になる
・小文字のｐ、ｑの正準な交換関係を考える。
（ｐｑ−ｑｐ）nn'＝ｈ／（２πｉ）
左辺は以下となる。
（ｐｑ−ｑｐ）nn'＝（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
ここで、正準な交換関係（ｐｑ−ｑｐ）nn'＝ｈ／（２πｉ）を使う。
（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't＝（ｈ／（２πｉ））δｎｎ’
ｎ＝ｎ’の時、（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’＝ｈ／（２πｉ）
ｎ≠ｎ’の時、（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’＝０
・まとめ
（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’＝（ｈ／（２πｉ））δｎｎ’
⇒小文字のｐ、ｑで正準な交換関係が成り立っている時は、大文字のＰ、Ｑでも
同じように正準な交換関係が成り立つ。
・ハミルトニアンＨ（ｐ、ｑ）について考える
Ｈ（ｐ，ｑ）ｎｎ’＝Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
ここで、小文字のハミルトニアンＨ（ｐ，ｑ）が対角線マトリックスになっていると、
正準な交換関係の時と同じになる。Ｈ（ｐ，ｑ）ｎｎ’＝Ｗｎδｎｎ’’
Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎｎ’ｅ^i2πνnn't＝Ｗｎδｎｎ’’
・まとめ
Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎｎ’＝Ｗｎδｎｎ’
・大文字のＰ、Ｑが
１．正準な交換関係を満たし
２．ハミルトニアンＨ（Ｐ，Ｑ）が対角線マトリックスになっている時、小文字のｐ、ｑが「正準な交換関係」と「Heisenbergの運動方程式」を満たすことが
証明できる。
⇒上の１、２の条件を満たすような大文字Ｐ、Ｑを探すことで直接に「振幅」と「振動数」
を求めることができる。
大文字のＰ、Ｑ
｜Ｐ11 Ｐ12 Ｐ13・・・｜
Ｐ＝｜Ｐ21 Ｐ22 Ｐ23・・・｜
｜Ｐ31 Ｐ32 Ｐ33・・・｜、
｜Ｑ11 Ｑ12 Ｑ13・・・｜
Ｑ＝｜Ｑ21 Ｑ22 Ｑ23・・・｜
｜Ｑ31 Ｑ32 Ｑ33・・・｜
を考え、このハミルトニアン
Ｈ（Ｐ，Ｑ）＝Ｐ^2／（２ｍ）＋Ｖ（Ｑ）
が正準な交換関係
ＰＱ−ＱＰ＝ｈ／（２πｉ）１
を満たし、対角線マトリックスになっているとする。
この大文字のＰ、Ｑの要素を振幅として持ち、ハミルトニアンＨ（Ｐ，Ｑ）の対角線
要素Ｗ1、Ｗ2、Ｗ3・・・からBohrの振動数関係νｎｎ’＝（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ
により求めたνｎｎ’を振動すとして持つ遷移成分を考え、さらにこのｐnn'、Ｑnn'を
要素として持つ小文字のマトリックスｐ、ｑを考える。
これがHeisenbergの運動方程式を満足するか見る。
運動量ｐについてのHeisenbergの運動方程式は次式となる。
ｄｐ／ｄｔ＝−（２πｉ／ｈ）（ｐＨ−Ｈｐ）
左辺は、（ｄｐ／ｄｔ）ｎｎ’＝ｉ２πνｎｎ’Ｐｎｎ’ｅ^i2πνnn't
で、Ｐｎｎ’ｅ^i2πνnn't＝ｐnn'なので
左辺＝ｉ２πνｎｎ’ｐnn'
右辺は、
−（２πｉ／ｈ）（ｐＨ（ｐ，ｑ）−Ｈ（ｐ，ｑ）ｐ）
であるが、Ｈ（ｐ，ｑ）は小文字の関数で、右辺全体としても小文字の関数なので
「小文字＝大文字×ｅ^i2πνnn't」が使える。（−（２πｉ／ｈ）（ｐＨ（ｐ，ｑ）−Ｈ（ｐ，ｑ）ｐ））ｎｎ’
＝（−（２πｉ／ｈ）（ＰＨ（Ｐ，Ｑ）−Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｐ））ｎｎ’ｅ^i2πνnn't
＝−（２πｉ／ｈ）（Σ[n'']Ｐｎｎ’’Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎ’’ｎ’
−Σ[n'']Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎ’ｎ’’Ｐｎ’’ｎ’）ｅ^i2πνnn't
大文字のハミルトニアンＨ（Ｐ，Ｑ）は対角線マトリックスになるので、
Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎｎ’’＝Ｗｎδｎｎ’’
Ｈ（Ｐ，Ｑ）ｎ’’ｎ’＝Ｗｎ’’δｎ’’ｎ’
＝−（２πｉ／ｈ）（Σ[n'']Ｐｎｎ’’Ｗｎ’’δｎ’’ｎ’
−Σ[n'']Ｗｎδｎｎ’’Ｐｎ’’ｎ’）ｅ^i2πνnn't
ここで、Ｗｎ’’δｎ’’ｎ’はｎ’’＝ｎ’の要素以外は０、Ｗｎδｎｎ’’は
ｎ’’＝ｎの要素以外は０なのでΣ[n'']が消える。
＝−（２πｉ／ｈ）（Ｐnn'Ｗｎ’−ＷｎＰnn'）ｅ^i2πνnn't
＝（２πｉ／ｈ）（ＷｎＰnn'−Ｐnn'Ｗｎ’）ｅ^i2πνnn't
＝２πｉ（（Ｗｎ−Ｗｎ’）／ｈ）Ｐnn'ｅ^i2πνnn't
＝２πｉνｎｎ’’Ｐｎｎ’
右辺＝左辺となり、大文字のＰ，Ｑから作った小文字のｐnn'は、Heisenbergの運動方程式
を満たしていることが証明された。
・まとめ
「正準な交換関係を満たし」「ハミルトニアンが対角線マトリックスになる」ような
大文字のＰ、Ｑが見つかれば、そこからスペクトルの「振幅」と「振動数」が求まる。
＜第一段階 ユニタリー変換＞
・マトリックスＰ0、Ｑ0を考える。
・このＰ0、Ｑ0は正準な交換関係
Ｐ0Ｑ0−Ｑ0Ｐ0＝（ｈ／（２πｉ））１
を満たすものであればなんでもよい。
・Ｐ0、Ｑ0のハミルトニアンＨ（Ｐ0，Ｑ0）は対角線マトリクスにはならないが、
ユニタリー変換を使うと、Ｐ0、Ｑ0が対角線マトリックスになる。
・ユニタリー変換とは、あるマトリックスをユニタリーマトリックスＵではさむことを言う。
・ユニタリーマトリックスとは、
Ｕ+Ｕ＝ＵＵ+＝１（単位マトリックス）
となるようなマトリックスのこと。
「+」は「ダガー」というマークで、行と列を入れ替えて複素共役をとること
｜Ａ Ｂ｜+ ＝｜Ａ* Ｃ*｜
｜Ｃ Ｄ｜ ｜Ｂ* Ｄ*｜
・Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）は対角線マトリックスではないが、うまくユニタリー変換すると
Ｕ+Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕが対角線マトリックスになる。｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
Ｕ+Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕ＝｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
・単振動を例として考える。
単振動の場合、Ｐ0，Ｑ0のハミルトニアンＨ（Ｐ0，Ｑ0）は以下となる。
Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）＝（１／（２ｍ））（Ｐ0）^2＋（ｋ／２）（Ｑ0）^2
＝１／（２ｍ）Ｐ0Ｐ0＋（ｋ／２）Ｑ0Ｑ0
これをユニタリーマトリックスＵ+、Ｕではさんで対角線マトリックスにできたとする。
｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
Ｕ+Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕ＝｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
左辺に「単振動のハミルトニアンを入れて計算する。
Ｕ+（１／（２ｍ）Ｐ0Ｐ0＋（ｋ／２）Ｑ0Ｑ0）Ｕ
＝１／（２ｍ）Ｕ+Ｐ0Ｐ0Ｕ＋（ｋ／２）Ｕ+Ｑ0Ｑ0Ｕ
Ｐ0とＰ0の間、Ｑ0とＱ0の間にＵ+Ｕを入れる（Ｕ+Ｕ＝１）。
＝１／（２ｍ）Ｕ+Ｐ0ＵＵ+Ｐ0Ｕ＋（ｋ／２）Ｕ+Ｑ0ＵＵ+Ｑ0Ｕ
ここで新しくＵ+Ｐ0Ｕ、Ｕ+Ｑ0Ｕを
Ｐ＝Ｕ+Ｐ0Ｕ
Ｑ＝Ｕ+Ｑ0Ｕ
とおくと、
＝１／（２ｍ）Ｐ^2＋（ｋ／２）Ｑ^2
となり、次式となる。
｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
１／（２ｍ）Ｐ^2＋（ｋ／２）Ｑ^2＝｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
勝手に選んだＰ0，Ｑ0をユニタリーマトリックスＵ+、Ｕではさんだ
Ｐ＝Ｕ+Ｐ0Ｕ
Ｑ＝Ｕ+Ｑ0Ｕ
が求めたかった大文字のＰ、Ｑ、つまりスペクトルの振幅。
・このＵを求める方法が「固有値問題」
Ｕ+Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕが対角線マトリックスになるのだから、
｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
Ｕ+Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕ＝｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
となる。この両辺に左側からＵをかけると、Ｕ+Ｕ＝１なので、
｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）Ｕ＝Ｕ｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
｜Ｕ11 Ｕ12 Ｕ13｜｜Ｗ1 ０ ０ ・・・｜
＝｜Ｕ21 Ｕ22 Ｕ23｜｜０ Ｗ2 ０ ・・・｜
｜Ｕ31 Ｕ32 Ｕ33｜｜０ ０ Ｗ3 ・・・｜
｜Ｕ11Ｗ1 Ｕ12Ｗ2 Ｕ13Ｗ3｜
＝｜Ｕ21Ｗ1 Ｕ22Ｗ2 Ｕ23Ｗ3｜
｜Ｕ31Ｗ１ Ｕ32Ｗ2 Ｕ33Ｗ3｜となる。
この右辺は、１列目はＷ1、2列目はＷ2、3列目はＷ3だけがかかっているので、列を
バラバラにして考えて良い。
ユニタリーマトリックスの列をバラバラにしたものをξ（グザイ）とおく。｜ξ1｜
ξ＝｜ξ2｜
｜ξ3｜
Ｈ（Ｐ0，Ｑ0）ξ−Ｗξ＝０
を解くことが「固有値問題」。この固有値問題を解けば、大文字のＰ、Ｑを求めることが
でき、スペクトルの「振幅」と「振動数」がわかる。
