トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第四話 ＜L.V.de Broglie　E.Schrodinger＞ 「新しい描像」メモ

・アインシュタイン　光：波⇒粒
・ド・ブロイ　　　　光：粒⇒波

・ド・ブロイはアインシュタインの光量子仮説、

　　　Ｅ＝ｈν　と　ｐ＝ｈ／λ

が電子についても成り立つと考えた。

・電子のエネルギーがＥで、運動量がｐであることは、同時に電子が振動数がνで波長がλ
の「波である」

・波長λの波がｎ回うねるとき、その波全体の長さはｎλ、それが円周の長さに等しいので

　　　２πｒ＝ｎλ

　ｐ＝ｈ／λより、

　　　２πｒ＝ｎ（ｈ／ｐ）

　　　２πｒｐ＝ｎｈ

　ｒｐ＝Ｍ（角速度）なので

　　　２πＭ＝ｎｈ

　　　Ｍ＝ｈｎ／（２π）

⇒ボーアの量子条件が導かれる

・原子の中では電子の角運動量が「整数倍のとびとびになる」事が、電子を「波」と
考えることで導き出される。

・波動力学をつくる

・運動量ｐの変化は「Ｆ＝ｍｑ''」で与えられる。

・波長λの変化を与える法則をＦ＝ｍｑ''からつくる

・ニュートンの運動方程式Ｆ＝ｍｑ''の両辺を積分する

　　　Ｅ＝ｐ^2／（２ｍ）＋Ｖ

　　Ｅ：エネルギー
　　ｐ：運動量
　　ｍ：粒の質量
　　Ｖ：位置エネルギー

　　　Ｅ−Ｖ＝ｐ^2／（２ｍ）

　　　ｐ＝√（２ｍ（Ｅ−Ｖ））

　位置エネルギーＶ　　大　　小
　運動量ｐ　　　　　　　　小　　大　　

・ｐ＝√（２ｍ（Ｅ−Ｖ））のｐとＥをＥ＝ｈνとｐ＝ｈ／λで置き換える。

　　　ｈ／λ＝√（２ｍ（ｈν−Ｖ））

　　　λ＝ｈ／√（２ｍ（ｈν−Ｖ））

・質量ｍと位置エネルギーＶをＥ＝ｈνとｐ＝ｈ／λにならって置き換える。

　　　ｍ＝ｈɱ、　Ｖ＝ｈɎ

　　　λ＝ｈ／√（２ｈɱ（ｈν−ｈɎ））

　　　λ＝１／√（２ɱ（ν−Ɏ））

・どんな波でも波の形そのものが求められる式（波動方程式）

　　　∇^2ψ＋（２πν／ｕ）^2 ψ＝０

　　∇^2：２階の微分作用素

　　ψ　：波の形を表したもの。ある時間、ある位置で「波の高さ」がどのくらいかを表す。

　　π　：円周率

　　ν　：振動数

　　ｕ　：波の速さ（位相速度）

　
　　　　　「位相速度」ｕ＝「波長」λ×「１秒間に波がうねる回数」ν

・この式を解いて波動関数ψを求めれば「波の形」がわかる

・電子の波の場合の位相速度ｕは

　　　ｕ＝λν

　　　　＝ν／√（２ɱ（ν−Ɏ））

・「電子の波動方程式」は、波動方程式のなかのｕに電子の位相速度を入れればよい

　　　∇^2ψ＋（２πν／ｕ）^2 ψ＝０

　　　ｕ＝ν／√（２ɱ（ν−Ɏ））

・電子の波動方程式を作る

　　　∇^2ψ＋（２πν／ν／√（２ɱ（ν−Ɏ）））^2 ψ＝０

　　　∇^2ψ＋（２π√（２ɱ（ν−Ɏ）））^2 ψ＝０

　　　∇^2ψ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）ψ＝０

・∂ψ／∂ｔ＝−ｉ２πνψを使って複雑電子の波ψを一度に導き出す方程式をつくる。

　　　∇^2ψ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）ψ＝０・・・（１）

　　　∂ψ／∂ｔ＝−ｉ２πνψ　　　　・・・（２）

　（２）式より

　　　νψ＝（−１／２πｉ）∂ψ／∂ｔ

　　　　　＝（ｉ^2／２πｉ）∂ψ／∂ｔ

　　　　　＝（ｉ／２π）∂ψ／∂ｔ

　（１）式へ代入する

　　　∇^2ψ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）ψ＝０

　　　∇^2ψ＋８π^2 ɱνψ−８π^2 ɱɎψ＝０

　　　∇^2ψ＋８π^2 ɱ（ｉ／２π）∂ψ／∂ｔ−８π^2 ɱɎψ＝０

　　　∇^2ψ＋４πｉ ɱ∂ψ／∂ｔ−８π^2 ɱɎψ＝０

・式の中からνを消し、複雑な電子の波の形を一度に導き出す方程式が完成した。