- 作者: トランスナショナルカレッジオブレックス
- 出版社/メーカー: ヒッポファミリークラブ
- 発売日: 1991/08
- メディア: 単行本
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ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ ｶﾚｯｼﾞ ｵﾌﾞ ﾚｯｸｽ編 「量子力学の冒険」
第四話 ＜L.V.de Broglie E.Schrodinger＞ 「新しい描像」メモ
電子の波の形
∂Ψ／∂ｔ＝−ｉ２πνΨにおいて、Ψの時間の項は、
ｅ^-ｉ2πνt
であり、Ψの空間の項を表す関数をΦ（ｘ、ｙ、ｚ）とすると
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Φ（ｘ、ｙ、ｚ）ｅ^-ｉ2πνｔ
と表せる。
複雑な電子の波Ψは
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Σ[n]Φn（ｘ、ｙ、ｚ）ｅ^-ｉ2πνnｔ
と表せる。
波の強さは振幅の大きさの２乗で表せるので、Ψの大きさの２乗をとると（複素共役）、
｜Ψ｜^2＝Φｅ^-ｉ2πνt×（Φｅ^-ｉ2πνt）*
＝Φｅ^-ｉ2πνt×Φｅ^+ｉ2πνt
＝｜Φ｜^2
となり、物質密度と考える。
＜自由空間中の電子＞
∇^2Ψ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Ψ＝０ ・・・（Ａ）
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Φ（ｘ、ｙ、ｚ）ｅ^-ｉ2πνｔ ・・・（Ｂ）
（Ｂ）式を（Ａ）式へ代入する。
∇^2Φｅ^-ｉ2πνｔ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φｅ^-ｉ2πνｔ＝０
ｅ^-ｉ2πνｔはtの関数であり、微分∇^2には関係ないので、
∇^2Φ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φ＝０
∇^2Φ＝−８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φ ・・・（Ａ’）
自由空間では電子には何の力も働かないので位置エネルギー
Ｖ＝０
そして、
Ｖ＝ｈɎ
より、
Ɏ＝０
なので、（Ａ’）は次式となる。
∇^2Φ＝−８π^2 ɱνΦ ・・・（Ａ’）
これが「自由空間での電子の波の方程式」
・Φのあたりをつける
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）は「ｘ、ｙ、ｚの３つの向きに広がっている波」
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝（Ｘ方向の波）×（Ｙ方向の波）×（Ｚ方向の波）
空間中の波はｅ^ikxｘで表すことができる（kxは「波数」で1mに何rad進むかを表す）
ｘ方向の波は、その振幅をＡkxとすれば、
Ａkxｅ^ikxｘ
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）は、３方向の波をかけ合わせた形となる。
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Ａkxｅ^ikxｘ・Ａkyｅ^ikyｙ・Ａkzｅ^ikzｚ
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
・Φを電子の式に入れて確かめる
電子の波の方程式
∇^2Φ＝−８π^2 ɱνΦ
はΦを「位置で２階微分する」と、Φに定数−８π^2 ɱνをかけものになることを意味する。
∇^2Φ＝∂^2Φ／∂ｘ^2＋∂^2Φ／∂ｙ^2＋∂^2Φ／∂ｚ^2
＝（∂^2／∂ｘ^2）Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
＋（∂^2／∂ｙ^2）Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
＋（∂^2／∂ｚ^2）Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
１階微分：∂Φ／∂ｘ
Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
⇒ｉkxＡkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
２階微分：∂^2Φ／∂ｘ^2
ｉkxＡkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
⇒−kx^2 Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
よって
∂^2Φ／∂ｘ^2＝−kx^2 Ａkxkykzｅ^ikxｘ・ｅ^ikyｙ・ｅ^ikzｚ
＝−kx^2Φ
∇^2Φ＝∂^2Φ／∂ｘ^2＋∂^2Φ／∂ｙ^2＋∂^2Φ／∂ｚ^2
＝−kx^2Φ−ky^2Φ−kz^2Φ
∇^2Φ＝−（kx^2Φ＋ky^2Φ＋kz^2）Φ
二式を見比べると、Φは自由空間での電子の波であることがいえる。
∇^2Φ＝−８π^2 ɱνΦ
∇^2Φ＝−（kx^2＋ky^2＋kz^2）Φ
⇒kx^2＋ky^2＋kz^2＝８π^2 ɱν
上式を書きかえると、
ν＝（kx^2＋ky^2＋kz^2）／８π^2 ɱ
となり、電子の波の振動数νが求まる。
・Ψを求める
自由空間でのΦは、
Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Ａkxkykzｅ^ikxｘｅ^ikyｙｅ^ikzｚ
＝Ａkxkykzｅ^i(kxｘ+kyｙ+kzｚ）
ただし
kx^2＋ky^2＋kz^2＝８π^2 ɱν
電子の波が動いていく様子を表すのが、Ψ
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Φ（ｘ、ｙ、ｚ）ｅ^-i2πνt
ΨはΦにｅ^-i2πνtをかければよいので、
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Ａkxkykzｅ^i(kxｘ+kyｙ+kzｚ）ｅ^-i2πνt
よって
Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Ａkxkykzｅ^i(kxｘ+kyｙ+kzｚ-2πνt）
ただし
ν＝（kx^2＋ky^2＋kz^2）／８π^2 ɱ
⇒電子は自由空間中を進行波として進む。
