トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

　雨が降ったり止んだりの一日だったので、家でゴロゴロして終わり。

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第五話 ＜E.Schrodinger＞ 「さらば、マトリックス」メモ

＜Ｐ0とＱ0とｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ、ｘの関係を探る＞

・ハイゼンベルクのＰ0Ｑ0の条件

　　１．正準な交換関係を満たす。Ｐ0Ｑ0−Ｑ0Ｐ0＝（ｈ／２πｉ）１

　　２．エミルト的である。

・演算子は正準な交換関係を満たしているか？

　　演算子の場合の正準な交換関係の式は

　　　ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ・ｘ−ｘ・ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ＝ｈ／２πｉ

　　関数ｆ(ｘ)をそれぞれの項に働かせて計算できるようにする。

　　　(ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ・ｘ)ｆ(ｘ)−(ｘ・ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ)ｆ(ｘ)

　　　　＝ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ・(ｘｆ(ｘ))−ｘ(ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ・ｆ(ｘ))
　

　　　　＝ｈ／２πｉ(ｄ／ｄｘ・(ｘｆ(ｘ))−ｘ(ｄ／ｄｘ・ｆ(ｘ))

　　　　＝ｈ／２πｉ*1

　　　　　　　　−ｘ(ｄ／ｄｘ・ｆ(ｘ))

　　　　＝ｈ／２πｉ・ｆ(ｘ)

　　よって、

　　　ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ・ｘ−ｘ・ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ＝ｈ／２πｉ

＜関数からベクトルをつくる＞
・sin関数とcos関数は直交関係にある（自分自身以外とは直交した関係にある）

・ｂ1ｓｉｎωｔベクトルとａ2ｃоｓ２ωｔベクトルの場合、

　　　ｆ(ｔ)→＝|ａ2|
　　　　　　　　|ｂ2|

・展開式を一般化する

　　　ａn＝２／Ｔ・∫[0⇒T]ｆ(ｔ)ｃоｓｎωｔ ｄｔ

　　　　ａn⇒η

　　　　ｆ(ｔ)⇒ｆ(ｘ)

　　　　ｃоｓｎωｔ ｄｔ⇒ｘn(ｘ)

　　ｆ(ｘ)からつくられるベクトルのひとつの要素ηnの求め方

　　　ηn＝∫ｘn*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

　　　直交関数にベクトルにしたい複雑な関数をかけて面積を求める

・ｎに１、２、３・・・を入れると、それぞれ直交したベクトルの大きさが出る。

　　　η1＝∫ｘ1*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

　　　η2＝∫ｘ2*(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

　　　η3＝∫ｘz3(ｘ)ｆ(ｘ)ｄｘ

　　　　　　　　↓

　　　　　　|η1|
　　　　　　|η2|＝η→
　　　　　　|η3|

　　　ｆ(ｘ)というある関数からベクトルη→をつくることができる。

・逆に、複雑な関数ｆ(ｘ)は単純な関数の足し合わせで表される。

　　　ｆ(ｘ)＝Σ[n]ηnｘn(ｘ)

・演算子からマトリックスをつくるには、

　　　∫ｘn*(ｘ)Ａｘn'(ｘ)ｄｘ

　　マトリックスにしたい演算子Ａを直交関係でサンドイッチして面積を求めると
　Ａからマトリックスができる。

・シュレディンガー方程式

　　　Ｈ（ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ、ｘ）φ(ｘ)−Ｅφ(ｘ)＝０

第六話 ＜M.Born W.Heisenberg＞ 「新世界への出発」メモ

＜ボルンの確率解釈＞
・描像は粒で式はシュレディンガー方程式

・シュレディンガーの波動関数|Ψ|^2は、二重スリット実験の1粒1粒の電子の
個数の分布を表す。

・1個の電子に対してのΨの２乗は、「ある場所に電子が到達する確率」を表す。

・エネルギーは

　　　Ψ(ｑ,ｔ)＝ΣＡnφn(ｑ)ｅ^ｉ2πＷnｔ／ｈ

　の式によればたくさんの値を同時に持つことになるが、ここで

「電子がＷnというエネルギーをもつことを表す単純な波」φnの強度|Ａn|^2が

　　　電子がＷnというエネルギーを持つ確率

　を表すとする。

・シュレディンガーとボルンの解釈の違い

シュレディンガー	⇒	ボルン
電子の物質密度	｜Ψ｜^2	電子がいる確率
電子の単純な波	φn	電子の状態
電子のもつエネルギー値	Ｗn	電子のもつエネルギー値
波の振幅	Ａn	関数へ働きかけるもの

・ボルンの含包式

　　　Ωφ−ωφ＝０

　あらゆる電子の物理量がこの式で求められる。

・電子が2個の場合、シュレディンガー方程式ではΨの変数が6個になり、6次元の
波となる。

・2個の電子の場合を確立解釈すると、3次元のまま描像がもてる。

＜位置と運動量の不確定性＞

・電子の波がスリットを通り抜けると波がどのように広がるかを考える。

　　λ　：波の波長λ
　　Δｘ：スリットの幅Δｘ
　　Δθ：スリットを通った後の波の広がる角度
　　ｐ　：電子の運動量ｐ
　　Δｐ：電子の運動量のばらつき

　１．同じ波長での「スリットの幅Δｘと波の広がりΔθとの関係」

　　　Δｘが小さいと　⇒　Δθは大きい
　　　Δｘが大きいと　⇒　Δθは小さい

　　　ΔθとΔｘは反比例の関係

　２．同じスリット幅での「波長λと波の広がりΔθの関係」

　　　λが大きいと　⇒　Δθは大きい
　　　λが小さいと　⇒　Δθは小さい

　　　Δθとλは正比例の関係

　　１と２の関係をまとめると次式となる。

　　　Δθ＝λ／Δｘ　　　　（１）

　３．同じ運動量での「運動量のばらつきΔｐと波の広がりΔθとの関係」

　　　Δθが大きいと　⇒　Δｐは大きい
　　　Δθが小さいと　⇒　Δｐは小さい

　　　ΔθとΔｐは正比例の関係

　４．同じ波の広がりでの「運動量のばらつきΔｐと運動量ｐとの関係」

　　　ｐが大きいと　⇒　Δｐは大きい
　　　ｐが小さいと　⇒　Δｐは小さい

　　　ｐとΔｐは正比例の関係

　　３と４の関係をまとめると次式となる。

　　　ｐΔθ＝Δｐ

　　　Δθ＝Δｐ／ｐ　　　　　（２）

　　（１）と（２）をまとめる。

　　　λ／Δｘ＝Δｐ／ｐ

　　　Δｘ・Δｐ＝λｐ

　　波長と運動量とプランク定数の関係は、

　　　ｐ＝ｈ／λ

　なので、

　　　Δｘ・Δｐ＝λｐ＝λ・ｈ／λ＝ｈ

　　　Δｘ・Δｐ＝ｈ

　となる。

＜不確定性原理の式＞

　　電子の位置を正確に見ようとすると運動量がわからなくなり、運動量を
　正確に見ようとすると、電子の位置がわからなくなる。

・確率波：その波面のどこかに電子を見つけることができるという可能性の波。
　　　　　電子の位置が特定されると可能性の波は縮む。

＜不確定性原理＞

・位置と運動量の不確定性⇒電子についての観測の限界を示す。

・プランク定数ｈよりも細かい精度で、電子の位置と運動量について知り得ない。

・電子の存在は確率的にしか表せず、原理的に不確定なもの。
　（観測精度の問題ではない）

＜粒と波の２重性＞

・二重スリットの実験で、電子がどちらのスリットを通るかを観測しなかった場合
は干渉する。

・電子がどちらのスリットを通ったかを観測した場合は干渉しない。

⇒電子は観測されていないときは波のように、観測されたときは粒のように
　振る舞う

・この場合の「波」は「可能性の波」であり物質の波とは異なり、「粒」は
不確定性原理により「位置と運動量を同時に知ることのできないもの」

・電子について「観測する」行為が電子の状況に影響を与える。

*1:ｄ／ｄｘ・ｘ)ｆ(ｘ)＋ｘ(ｄ／ｄｘ・ｆ(ｘ