ファインマン物理学Ⅱ 光 熱 波動

ファインマン物理学〈2〉光・熱・波動

第１４章　気体分子運動論　メモ

14-1　物質の性質

・物質の性質に関する理解は大まかなものになる

・個々の原子が実際のどう動いているかを知ろうとするのではなく、どこそこに
平均としてどれだけ多くの原子が動いているか、いろいろな現象でどんな違いが
あるのかを知る

・原子の実際の行動は古典力学ではなく量子力学に従う

・この問題の正しい理解は量子力学を理解するまでは得られない

・なにかを圧縮すると熱くなる、それを熱すると膨張する。これらの二つの
事実の間の関係は、その根底にある機構とは無関係に導かれるもの。

　⇒熱力学

14-2　気体の圧力

・気体は圧力を及ぼす。

・空気はたくさんの分子が永久運動している。

・箱の体積をＶ、気体の圧力をＰ、ピストンに働く力をＦ、ピストンの断面積をＡ
とすると

　　　Ｐ＝Ｆ／Ａ　　　　　(14.1)

　ピストンを微小量−ｄｘだけ動かして気体を圧縮するとき、気体になされる
微小仕事ｄＷは、力に圧縮するときの距離をかけたもので、圧力と面積と距離を
かけたものになり、圧力と体積の変化ｄＶの積に負の符号をつけたものになる。

　　　ｄＷ＝Ｆ(−ｄｘ)＝−ＰＡｄｘ＝−ＰｄＶ　　　(14.2)

　圧縮すれば体積が減少し、気体が圧縮するとき正の仕事がなされるので、負の
負号が必要となる。

・ｖを原子の速度、ｖxをｖのｘ成分とするとｍｖxが入ってくる運動量のｘ成分

・出ていく運動量も同じ大きさの成分をもつため、１回の衝突で粒子からピストン
に渡される全体の運動量は２ｍｖxとなる。

・衝突する原子の数は、体積Ｖ中にＮ個の原子があるとすると、単位体積中の
原子の数ｎはＮ／Ｖ。

・時間ｔ中の衝突の数は距離ｖxｔの領域にある原子の数に等しい

・ピストンの面積はＡなので、ピストンに当たるはずの原子により占められる
体積はｖxｔＡ

・ピストンにあたるはずの原子の数は、この体積に単位体積中でピストンの方に
向かう原子の数ｎ'をかけたもの、ｎ'ｖxtＡとなる。

・単位時間中にピストンに当たる数は、ｔで割ってｎ'ｖxＡとなる。

　力Ｆは

　　　Ｆ＝ｎ'ｖxＡ・２ｍｖx　　　　　　(14.3)

　力は面積に比例するので圧力は

　　　Ｐ＝２ｎ'ｍｖx^2　　　　　　　　(14.4)

　ｖx^2は各分子でそれぞれに違い、ｎ'は速度により変わるためこれをｎ''と
すると、ｎ''ｖx^2の和をとる必要がある。この和をｎ'で割ったものを<ｖx^2>と
おく。Σｎ''ｖx^2＝ｎ'<ｖx^2>とする。ｎ'はｎ''の和であるので、<ｖx^2>は
ｖx^2の平均値である。よって(14.4)式は

　　　Ｐ＝２ｍΣｎ''ｖx^2＝２ｎ'ｍ<ｖx^2>

と書き換えられる。

　単位体積中に含まれる分子数の総数をｎとすれば、ｎ＝２ｎ'なので

　　　Ｐ＝２ｎ'ｍ<ｖx^2>＝ｎｍ<ｖx^2>　　　　　(14.5)

と表される。

・原子は上下、前後、左右に動くので原子のある方向の運動についての平均値<ｖx^2>がほかの二方向の平均値とすべて等しくなるので

　　　<ｖx^2>＝<ｖy^2>＝<ｖz^2>　　　　　(14.6)

　　　<ｖx^2>＝<ｖx^2＋ｖy^2＋ｖz^2>／３＝<ｖx^2>／３　　　　　(14.7)

　圧力の式を書き直すと

　　　Ｐ＝(２／３)ｎ<ｍｖ^2／２>　　　　　(14.8)

　ｍｖ^2／２は、これが分子の質量中心の運動の運動エネルギーになるため。

　　　ＰＶ＝Ｎ(２／３)<ｍｖ^2／２>　　　　(14.9)

・１個の原子からなる分子は分子中の内部運動がないと考えてよい。

・原子間の内部運動が無視できると、質量中心の運動エネルギーが存在する全
エネルギーとなる。

　⇒単原子分子の気体では、運動エネルギーが全エネルギーになる。

・分子のエネルギーの総計をＵと呼ぶ。

・単原子分子の気体では、全エネルギーが各原子の平均の運動エネルギーに原子の
数をかけたものに等しくなると考える。このような場合次式となる。

　　　ＰＶ＝２Ｕ／３　　　　　(14.10)

　一般的に

　　　ＰＶ＝(γ−１)Ｕ　　　　　(14.11)

・圧縮の際、熱の出入りがなければ断熱圧縮とよばれる。

・断熱圧縮では、なされた仕事が全部内部エネルギーに変わるのでＰｄＶ＝−ｄＵ
となり、Ｕ＝ＰＶ／(γー１)であるので、

　　　ｄＵ＝(ＰｄＶ＋ＶｄＰ)／(γ−１)　　　　　(14.12)

と書ける。ＰｄＶ＝−(ＰｄＶ＋ＶｄＰ)／(γ−１)なのでこれより、

　　　γｄＶ／Ｖ＋ｄＰ／Ｐ＝０　　　　　(14.13)

γは定数であると仮定すると、積分することができ、γｌｎＶ＋ｌｎＰ＝ｌｎＣ
となり、Ｃは積分定数であるので

　　　ＰＶ^γ＝Ｃ(定数)　　　　　(14.14)

・断熱という条件下では、圧縮するにつれて、熱損失が無いため、温度上昇し、
圧力と体積の５／３乗との積は、単原子気体で一定となる。

14-3　輻射の圧縮率

・箱の中に光子がたくさんあり、温度は極めて高いとする。

・光子はある運動量ｐをもつ

・運動量はベクトルｐのｘ成分の２倍であり、２ｍｖxの代わりに２ｐxとする

・(14.4)の圧力の代わりに

　　　Ｐ＝２ｎ'ｐxｖx　　　　　(14.15)

　となり、これを平均するとｐxｖxの平均値のｎ倍になり、他の二方向も考慮して

　　　ＰＶ＝Ｎ<ｐ・ｖ>／３　　　　　(14.16)

・圧力と体積をかけたものが、原子総数に<ｐ・ｖ>／３をかけて平均したものに
なっている。

・各光子の運動量と光速をかけたものはエネルギーでＥ＝ｐｃ

・平均のエネルギーをとり、それに光子の数をかけると、光子の気体のエネルギー
の１／３が得られる

　　　ＰＶ＝Ｕ／３(光子の気体)　　　　　(14.17)

　光子の場合、Ｕの前に出てくる数字は１／３で、γ＝４／３となるので箱の中の
輻射は

　　　ＰＶ^4/3＝Ｃ　　　　　(14.18)

となる。

・これで輻射の圧縮率を知ることができ、星の内部における輻射厚の寄与の解析に
利用できる。

14-4　温度と運動エネルギー

・二つの気体が同じ温度の場合、質量中心の運動エネルギーの平均は等しくなる

・分子の運動エネルギーの平均値は、温度だけできまる性質である。

・それは温度の特性であり、気体の特性ではない。それを温度の定義として利用
できる。

・絶対温度をＴとすると、平均の分子のエネルギーが３ｋＴ／２になる。

　　ｋ＝1.38×10^-23

・任意の方向の運動成分に関する運動エネルギーはｋＴ／２だけである
・三つの独立な方向があるので、全体の運動エネルギーの平均値が
３ｋＴ／２になる。

14-5　理想気体の法則

・圧力に体積をかけたものが、分子総数Ｎと普遍定数ｋと温度をかけたもになる

　　　ＰＶ＝ＮｋＴ　　　　　(14.22)

・同じ温度、同じ圧力、同じ体積のもとで分子の数もきまる。

・種類の違う気体で、同じ体積、同じ圧力、同じ温度の気体は、ニュートンの法則
の結果として、同数の分子を含むことになる。

・１モル(mol)：Ｎ0＝6.02×10^23

・１モル当たりのｋ、すなわちＲ＝8.317J・mol^-1・0Ｋ-1

　　　ＰＶ＝ＮＲＴ　　　　　(14.23)