ファインマン物理Ⅱ 光 熱 波動

ファインマン物理学〈2〉光・熱・波動

第２５章　ハーモニクス　メモ

25-1　音楽

・雑音(騒音)：近くにある物体の不規則な振動により生ずる鼓膜の一種の
　　　　　　　　不規則な振動に対応するもの

・音楽：持続ずる音あるいは楽音の存在が特徴

・空気の圧力という点からみたとき、音楽が雑音と違うのは周期性があること

・音楽の三つの特性：大きさ、高さ、音質

　大きさ：圧力変化の大きさに対応

　高さ　：基本的な圧力関数で繰り返しの時間に対応

　音質　：繰返される図形の構造に関係

・振動する弦を往ったり来たりする波の繰り返しの時間は、波が弦の２倍の長さ
を完全に伝わるのに必要な時間Ｔに等しくなる。

25-2　フーリエ級数

・周期Ｔの任意の周期関数ｆ(ｔ)は数学的に次のように表される

　　　ｆ(ｔ)＝ａ0

　　　　　　　　＋ａ1ｃоｓωｔ＋ｂ1ｓｉｎωｔ

　　　　　　　　＋ａ2ｃоｓ２ωｔ＋ｂ2ｓｉｎ２ωｔ

　　　　　　　　＋ａ3ｃоｓ３ωｔ＋ｂ3ｓｉｎ３ωｔ

　　　　　　　　＋　　・・・　　＋　　・・・　　　　　　　(25.2)

　　ω＝２π／Ｔで、ａ,・・・,ｂ・・・はｆ(ｔ)の振動の中に各成分の振動が
　どれほど多く含まれているかを示す定数

・(25.2)の級数をｆ(ｔ)に対するフーリエ(Fourier)級数という。

25-4　フーリエ係数

１　∫[0,T]ｓiｎｎωｔ・ｃоｓｍωｔｄｔ＝０　　　　(25.11)

２　∫[0,T]ｃоｓｎωｔ・ｃоｓｍωｔｄｔ＝０(n≠m)、T／2(n＝m) (25.12)

３　∫[0,T]ｓiｎｎωｔ・ｓiｎｍωｔｄｔ＝０(n≠m)、T／2(n＝m) (25.12)　

４　ｆ(ｔ)＝ａ0＋Σ[n=1,∞]ａnｃоｓｎωｔ＋Σ[n=1,∞]ｂnｓｉｎｎωｔ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(25.13)

５　ａ0＝(１／Ｔ)∫[0,T]ｆ(ｔ)ｄｔ　　　　　(25.14)

　　ａn＝（２／Ｔ）∫[0,T]ｆ(ｔ)・ｃоｓｎωｔｄｔ　　　(25.15)

　　ｂn＝（２／Ｔ）∫[0,T]ｆ(ｔ)・ｓｉｎｎωｔｄｔ　　　(25.16)

・(25.13)を複素数表示すると次式となる

　　　ｆ(ｔ)＝Σ[∞,-∞]ｃnｅ^inωt　　　　(25.17)

　係数ｃnは

　　　ｃn＝（１／Ｔ）∫[0,T]ｆ(ｔ)ｅ^-inωtｄｔ　　　(25.18)

　で与えられれ、ａ0、ａn、ｂnとｃnの関係は

　　　ａ0＝ｃ0、ａn＝ｃn＋ｃ-n、ｂn＝(ｃn−ｃ-n)／ｉ (ｎ?1)

・周期的な波を正弦波、余弦波の成分に解析する方法をフーリエ解析、個々の
項はフーリエ成分とよばれる。

25-5　エネルギーの定理

・波のエネルギーは振幅の２乗に比例する

　　　∫[0,T]ｆ^2(ｔ)ｄｔ

　　　　　　　　　＝∫[0,T][ａ0＋Σ[n=1,∞]ａnｃоｓｎωｔ

　　　　　　　　　　　＋Σ[n=1,∞]ｂnｓｉｓｎωｔ]^2ｄｔ　(25.22)

　　　　　　　　　＝Ｔａ0^2＋(Ｔ／２)Σ[n=1,∞](ａn^2＋ｂn^2)　(25.23)

・波の全エネルギーがフーリエ成分のエネルギーの総和になっている。

26-6　非線型の応答

・装置が線型の場合

　　　ｘout(ｔ)＝Ｋxin(ｔ)　　　　(25.4)

　Ｋはｔにもｘinにも無関係な定数

・装置が近似的には線型であるが、厳密には線型でない場合

　　　ｘout(ｔ)＝Ｋ[ｘin(ｔ)＋εｘin^2(ｔ)]　　　　(25.25)

　εは１に比べて小さな量

・ｘin＝ｃоｓωｔとおく

　　　ｘout＝Ｋ(ｃоｓωｔ＋εｃоｓ^2ωｔ)　　　　(25.26)

　　　　　　＝Ｋ（ｃоｓωｔ＋ε／２−(ε／２)ｃｏｓ２ωｔ）　　(25.27)

・応答(出力)はゆがみ、純音ではなくハーモニクスをもつ

・応答の中には入力の基本振動数成分だけでなく、その第二のハーモニクスの
成分も含む

・定数項Ｋε／２は平均値のずれに対応するもので、平均値のずれる仮定を
整流作用とよぶ

・非線型の応答は、整流作用をし、入力の振動数のハーモニクスをつくる

・非線型の応答から生ずるもう一つの効果は変調

・入力関数が二つ(あるいはそれ以上）の純音を含むとき、出力はそれらの
ハーモニクスだけでなく、ほかの振動数の成分を含む

・ｘin＝Ａｃｏｓω1ｔ＋Ｂｓｉｎω2ｔとし、ω1とω2は調和の関係にない

　１次の項(入力のＫ倍になるもの)に加え、出力の中に

　　　ｘout＝Ｋε(Ａｃｏｓω1ｔ＋Ｂｓｉｎω2ｔ)^2　　　　　(25.28)

　　　　　　＝Ｋε(Ａ^2ｃｏｓ^2ω1ｔ＋Ｂ^2ｃｏｓ^2ω2ｔ

　　　　　　　　　　＋２ＡＢｃｏｓω1ｔｃоｓω2ｔ)　　　　(25.29)

　で与えられる成分が含まれている。

・積の項Ｂｃｏｓω1ｔｃоｓω2ｔには二通りの見方ができる

(a)二つの振動数が大幅に違っていると(ω1＞ω2の場合)、この積の項は振幅が
変化する余弦振動を表す

　　　ＡＢｃｏｓω1ｔｃоｓω2ｔ＝Ｃ(ｔ)ｃоｓω1ｔ　　　　(25.30)

　ただし

　　　Ｃ(ｔ)＝ＡＢｃｏｓω2ｔ　　　　(25.31)

　このとき、ｃоｓω1ｔの振幅がω2の振動数で変調されているという

(b)積の項を次のように書ける

　　　ＡＢｃｏｓω1ｔｃоｓω2ｔ

　　　　　　　＝(ＡＢ／２)[ｃоｓ(ω1＋ω2)ｔ＋ｃоｓ(ω1−ω2)ｔ] (25.32)

　今度は二つの新しい成分ができた。一つは和の振動数(ω1＋ω2)をもち、もう
一方は差の振動数(ω1−ω2)をもつ。

・ω1＞ω2の場合は(ω1＋ω2)も(ω1−ω2)も大体等しいので両者の間に唸りが
観測される。

・この唸りは平均の振動数ω1の振動の振幅を、差の振動数２ω2の半分で変調する
効果をもつ

・非線型の応答は、整流作用、ハーモニクスの発生、変調、和および差の振動数
をもつ成分の生成などの効果をもつ