ファインマン物理Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第３章　ベクトルの積分　メモ

3-1　ベクトルの積分；∇φの線積分

・場の量の変化がgradであるため、変化の率を積分すれば変化の総量を得る
・スカラー場φ(ｘ、ｙ、ｚ)があるとし、二つの任意の点(1)と(2)で関数φは
　それぞれφ(1)、φ(2)になるとする
・(2)は点(ｘ2、ｙ2、ｚ2)を表しφ(2)はφ(ｘ2、ｙ2、ｚ2)と同じ
・(1)と(2)を結ぶ曲線をΓとすると

　定理１：　　　φ(2)−φ(1)＝∫[(1)→(2)](∇φ)・ｄｓ~　　　　(3.1)

　一つのベクトル∇φと、曲線Γの微小の線素ｄｓ~（(1)から(2)へ向かう方向の）
　とのスカラー積を曲線Γにそって(1)から(2)へとった線積分

3-2　ベクトル場の流速

・ある面を通って流れる総熱量を求めるには、すべての面素からの寄与を集めれば
よい

　　　Ｓを通って外向きに流れる熱量＝∫[s]ｈ~・ｎ~ｄa　　　(3.11)

　この面積分を”面を通るｈ~の流速”と名付ける。

・電場の場合に一般化し、流速という言葉をベクトルの”法線成分の面積分”に
拡張する

　　　面Ｓを通るＥ~の流速＝∫[s]Ｅ~・ｎ~ｄa　　　　(3.12)

・熱量が保存されるならば、

　　　∫[s]ｈ~・ｎ~ｄa＝−ｄＱ／ｄｔ　　　　(3.13)

　Ｑは内部の熱量であり、Ｓを通り流れ出る熱の流速は、Ｓの内部の全熱量の時間
に関する変化率のマイナスに等しい。

3-3　立方体からの流速；ガウスの定理

・無限小の立方体について

　　∫[立方体]Ｃ~・ｎ~ｄa＝(∂Ｃx／∂x＋∂Ｃy／∂y＋∂Ｃz／∂z)?x?y?z

　　　　　　　　　　　　 ＝(∇・Ｃ)?Ｖ　　　　　(3.17)

・無限小の立方体の面から出る流速は、ベクトルのdivに体積をかけたものに
等しい

・点Ｐにおけるベクトルのdivとは、Ｐの近傍における、単位体積あたりの流速―
Ｃの外向きの”流れ”である。

・ガウスの定理

　　　∫[S]Ｃ~・ｎ~ｄa＝∫[V]∇・Ｃ~ｄＶ　　　　(3.18)

　　ここにＳは任意の閉曲面、Ｖはその内部