ありのままに生きる

社会不適合なぼっちおやじが、自転車、ジョギング等々に現実逃避する日々を綴っています。

ファインマン物理Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第6章 色々の場合の電場

6-1 静電ポテンシャルの方程式

   ∇~・E~=ρ/ε0    (6.1)


   ∇~×E~=0      (6.2)


   E~=−∇φ     (6.3)


 式(6.3)を(6.1)に代入すると

   ∇~・∇~φ=−ρ/ε0    (6.4)


   ∇~・∇~φ=∇^2φ=∂^2φ/∂x^2+∂^2φ/∂y^2+∂^2φ/∂x^2 (6.5)


   ∇^2φ=−ρ/ε0    (6.6)


 演算子∇^2はラプラシアン、式(6.6)はポアソン方程式


 ρがx、y、zの関数として既知の場合、点(1)のポテンシャルは

   φ(1)=∫ρ(2)dV2/4πε0r12    (6.7)


 ρ(2)は点(2)の電荷密度、dV2は体素、r12は(1)、(2)間の距離。

 微分方程式(6.6)の解は空間全体にわたる積分に帰着する。


6-2 電気双極子

・距離dだけ離れた点電荷+q、−qをとり、電荷を結ぶx軸をとり、その中点に
原点をとる。二つの電荷のポテンシャルは

   φ(x,y,z)=1/4πε0[q/√([z-(d/2)]^2+x^2+y^2)-q/√([z+(d/2)]^2+x^2+y^2)
                                  (6.8)


・接近した1対の電荷を双極子という。


・二つの反対の電荷が小距離dだけ離れているときの場

 ポテンシャルφは

   φ(x,y,z)=(1/4πε0)(z/r^3)qd    (6.9)


 その微分としての場は、電荷×距離qdに比例する。
 この積を二つの電荷の双極モーメントといい、記号pで表す

   p=qd     (6.10)


・双極子の軸と、点(x,y,z)へのベクトルとの間の角θを導入すると
 z/r=cоsθなので、式(6.9)は

   φ(x,y,z)=(1/4πε0)pcоsθ/r^2   (6.11)


 とも書かれる。

・双極子のポテンシャルは軸に対して定まった角の方向では1/r^2のように減少する。
 したがって双極子の電場E~は1/r^3に比例して減少する。

・大きさpで、双極子の軸の方向をもち、q-からq+へ向かうベクトルP~を定義
すると

   pcоsθ=P~・er~    (6.12)


 双極ポテンシャル φ(r~)=(1/4πε0)P~・er~/r^2


             =(1/4πε0)P~・r~/r^3   (6.13)



6-11 高圧破壊

・突起の近くの場はほかの所よりずっと大きくなる
電荷ができるだけ導体面上にひろがろうとし、鋭い突起の先端は、面の大抵の所
からできるだけ遠いから。
・先端にくる電荷はわり合い少量でも、面密度は大きくなる。


・左側の球が半径aで、電荷Qをもつとすると、そのポテンシャルは大体

   φ1=(1/4πε0)Q/a


 小球の半径b、電荷qとすると、そのポテンシャルは

   φ2=(1/4πε0)q/b


 φ1=φ2なので

   Q/a=q/b


 表面のところの電場は面電荷密度に比例するので、面密度は全電荷を半径の2乗で
 わったものに比例する。

   Ea/Eb=(Q/a^2)/(q/b^2)=b/a   (6.35)

 
 従って小球の電場の方が強く、電場は半径に逆比例する。