ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性

ファインマン物理学〈4〉電磁波と物性

第2章　空洞共振器　メモ

2-2　高周波におけるキャパシター

・キャパシータに低周波のACを極板に加えた場合、キャパシターは磁場

　　　Ｂ＝(ｉωｒ／２ｃ^2)Ｅ0ｅ^iωt　　　　　(2.5)

　をもつため、磁場も振動し、その強さはｒに比例する。

　変化する磁場が存在すると、電場が誘導され、インダクタンスのような
　振る舞いをする。

　一様な電場をＥ＝Ｅ0ｅ^iωtとし、補正した電場を

　　　Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2

　と書く。

　　　Ｅ2(ｒ)＝(−ω^2ｒ^2／４ｃ^2)Ｅ0^iωt　　　　　(2.7)

　を得る。誘起電場は外方の電場を弱める傾向にある
　補正された電場Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2は

　　　Ｅ＝Ｅ1＋Ｅ2＝（１−(１／４)(ω^2ｒ^2／ｃ^2))Ｅ0^jωt　　　(2.8)

　式(2.5)は第１近似でＢ1とする。

　　　Ｂ1＝(ｉωｒ／２ｃ^2)Ｅ0^iωt　　　　　(2.9)

　Ｂ1はＥ1の変化により作られたもので、正しい磁場はＥ1＋Ｅ2の変化で
　作られたものである。磁場をＢ＝Ｂ1＋Ｂ2と書けば、第２項はＥ2によって
　作られる磁場である。

　　　Ｂ2(ｒ)＝(−ｉω^3ｒ^3／１６ｃ^4)Ｅ0^iωt　　　　(2.11)

　電場の補正を続けると

　　　Ｅ＝Ｅ0ｅ^iωt[1−(1/(1!)^2)(ωr/2c)^2＋(1/(2!)^2)(ωr/2c)^4

　　　　　　　　　　　−(1/(3!)^2)(ωr/2c)^6+・・・・]　　　　(2.15)

　となる。

　キャパシターの極板の間の電場は、任意の電場に対してＥ0ｅiωtとωr/cだけを
　変数として含む無限級数との積として与えられる。

　式(2.15)の括弧内の無限級数はＪ0(ｘ)と呼ばれる特殊関数を定義するもの。

　　　Ｊ0(ｘ)＝1−(1/(1!)^2)(x/2)^2＋(1/(2!)^2)(x/2)^4

　　　　　　　　−(1/(3!)^2)(x/2)^6+・・・・　　　　　　　(2.16)

　上記の解はＥ0ｅ^iωtとこの関数（ｘ＝ωｒ／ｃ）との積として書ける。

　　　Ｅ＝Ｅ0ｅ^iωtＪ0（ωｒ／ｃ）　　　　　(2.17)

　Ｊ0は円筒形の対称性をもつ波動に関する問題で現れる。

2-3　共鳴空洞

・周波数をどんどん高くしたとき、キャパシター極板間の電場を与える解を調べる。

・ｘが増大するにつれ、Ｊ0は正と負の間で振動し、その振動の振幅は段々と小さく
　なる。

・周波数を充分高くすれば、コンデンサーの中心の電場の向きに対して、端の近く
　の電場は逆向きになり得る。

・周波数を非常に高くすると、キャパシータの中心から遠ざかるにつれ電場は何回も
　あちら向き、こちら向きと振動する。での電場に関連した磁場も存在する。

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・電場に対し極板の表面に電荷があり、磁場に対し逆起電力があるので、これは
　共鳴回路である。

・ωａ／ｃを2.405よりも少し大きくとる。薄い金属板をとり、キャパシターの
　極板の間隔にちょうど合う幅に切り取り、これを円筒状に曲げて電場がゼロに
　なる半径のところに合うようにする。

・電場と磁場を内部にもち、外部とは無関係な完全な円筒形の罐を得た。

・振動するＥの場の振幅は罐じ軸からの半径と共に変化し、磁場は軸のまわりの
　円筒に沿い、電場に対し90°だけずれた位相で振動する。

・罐の波形が与えらえている時、電場と磁場は特別な周波数でのみ振動が持続する
　半径ｒの円筒形の罐は、周波数

　　　ω0＝２．４０５ｃ／ｒ　　　　　　　（2.18)

　に対して共鳴する。

・実際の罐では、壁の内部に存在する振動電流が材料の抵抗のためにエネルギーを
　消費するので、場の振動は次第に減衰する。

2-4　空洞のモード

・罐内の振動のモードとして、多数の異なるモードがあり、それぞれ独特な、
　複雑な電場と磁場との相当して　異なった共鳴周波数をもつ。
　これらの場の配合の各々は共鳴モードと呼ばれる。