ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性

ファインマン物理学〈4〉電磁波と物性

第4章　電磁気学の相対論的記述　メモ

4-1　4元ベクトル

・我々が一様な速度で動いても、物理学の法則は変化しない。
・座標系Ｓに対してｘ方向に一様な速さｖで動いている座標系Ｓ'があるとき、
　これら２組の座標系の間の空間と時間との関係はローレンツ変換

　　　ｔ'＝ｔ−ｖｘ／√(１−ｖ^2)、　ｙ'＝ｙ、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4.1）
　　　ｘ'＝ｘ−ｖｔ／√(１−ｖ^2)、　ｚ'＝ｚ

　で与えられる。

・物理学の法則は、ローレンツ変換を行った新しい法則が、それを行う前の形と
全く同一にみえるようなものでなければならない。

・３次元のベクトル解析における重要な量と演算

　ベクトルの定義　　：Ａ~＝(Ａx、Ａy、Ａz)
　スカラー積　　　　：Ａ~・Ｂ~
　微分ベクトル演算子：∇~
　勾配（ｇｒａｄ）　：∇~φ
　発散（ｄｉｖ）　　：∇~・Ａ~
　ラプラシアン　　　：∇~・∇~＝∇^2
　ベクトル積　　　　：Ａ~×Ｂ~
　回転（ｃｕｒｌ）　：∇~×Ａ~

・４元ベクトルをａuと書いて、４個の数の集まり(ａt、ａx、ａy、ａz)を意味する
ものとする。

・速度４元ベクトルは次式で定義される。

　　　ｕt＝１／√(１−ｖ^2)、　ｕy＝ｖy／√(１−ｖ^2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.5)

　　　ｕx＝ｖx／√(１−ｖ^2)、　ｕz＝ｖz／√(１−ｖ^2)

4-2　スカラー積

・３次元のｒ^2に類似の４次元の量は

　　　ｔ^2−ｘ^2−ｙ^2−ｚ^2

・４元ベクトルａuの”長さ”の２乗

　　　ａt'^2−ａx'^2−ａy'^2−ａz'^2＝ａt^2−ａx^2−ａy^2−ａz^2

・スカラー積ａuｂu

　　　ａuｂu＝ａtｂt−ａxｂx−ａyｂy−ａzｂz　　　　　(4.7)

　　　　　　＝ａtｂt−ａ~・ｂ~

・ローレンツ変換に対するスカラー積の不変性

　　　ａu'ｂu'＝ａuｂu

・４次元的長さの２乗はａuａuあるいは

　　　ａuａu＝ａt^2−ａx^2−ａy^2−ａz^2＝ａt^2−ａ~・ａ~　　　(4.8)

　と書ける。この量をａu^2、

　　　ａu^2＝ａuａu

　と書くと都合がよい。

4-3　４次元の勾配

・４次元の勾配演算子

　　　∇u＝(∂／∂ｔ、−∇)＝(∂／∂t、−∂／∂ｘ、−∂／∂ｙ、−∂／∂ｚ)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.16)

・４元ベクトルｂu＝(ｂu、ｂ~)の発散は∇uとｂuのスカラー積で定義される。

　　　∇uｂu＝(∂／∂ｔ)ｂt-(-∂／∂ｘ)ｂx-(-∂／∂ｙ)ｂy-(-∂／∂ｚ)ｂz

　　　　　　　＝(∂／∂ｔ)ｂt＋∇~・ｂ~　　　　　　(4.17)

・３次元の勾配演算子∇uのそれ自身とのスカラー積

　　　∇^2＝∇~・∇~＝∂^2／∂ｘ^2＋∂^2／∂ｙ^2＋∂^2／∂ｚ^2

・４次元

　　　∇u∇u＝(∂／∂ｔ)(∂／∂ｔ)−(-∂／∂ｘ)(-∂／∂ｘ)

　　　　　　　　−(-∂／∂ｙ)(-∂／∂ｙ)−(-∂／∂ｚ)(-∂／∂ｚ)

　　　　　　＝∂^2／∂ｔ^2−∇^2

・グランベール演算子

　　　□^2＝∇u∇u＝∂^2／∂ｔ^2−∇^2　　　　　　(4.20)