ファインマン物理学Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第１８章　平面内の回転　メモ

18-1　質量の中心

・剛体：動くときに回転する個体

・固定軸のまわり物体の回転を平面回転または２次元における回転という。

・かたまりや棒などを紐でつないで空中にほうり出したとき、放物線になる。

・放物線に沿って運動するのは、中心の役目をする点であり、一つの平均的位置

・たくさんの粒子からなる物体を考えると、i番目の粒子にはたらく力は、その
粒子の加速度に質量をかけたものになる

　　　Ｆi~＝ｍi(ｄ^2ｒi~／ｄｔ^2)

　運動体の速さが光の速さよりずっと小さいとすると質量は一定なので

　　　Ｆi~＝ｄ^2(ｍiｒi~)／ｄｔ^2

　である。

　　Ｆi~をすべて加え合わせると全力Ｆ~が得られる。

　　　Σ[i]Ｆi~＝Ｆ~＝ｄ^2(Σ[i[ｍiｒi~)／ｄｔ^2

　　全力は、位置に質量をかけてすべて加えあわせたものの２階微分係数である。

・すべての粒子にはたらく全力は外力と同じ。

・いくつかの粒子を物体として考え、上式がそれらの粒子の和だとすると、この
全物体にはたらく外力は、その物体を構成するすべての粒子にはたらく全部の力の
和に等しい。

・Ｍがすべての質量の和、すなわち全質量であるとすると、Ｒ~というベクトルを
次のように定義する。

　　　Ｒ~＝Σ[i]ｍiｒi~／Ｍ

　Ｍは一定であるから、

　　　Ｆ~＝ｄ^2(ＭＲ~)／ｄｔ^2＝Ｍ(ｄ^2Ｒ~／ｄｔ^2)

　となる。

　外力は、Ｒ~という位置にある仮想点の加速度に全質量をかけたものになり、
この点を質量の中心という。

１．質量の中心は、まんなかにあって、一定の速度で運動する。
２．質量の中心は、物体の”内部”運動と別個に無関係に取り扱うことができる。

18-2　剛体の回転

・剛体は、そのなかの原子の間にはたらく力が非常に強く、全体を動かすに要する
力くらいでは曲がらないような性質をもった物体

・回転は、時間に対して角度がどう変わるかという問題。

・回転を考えるには、物体がまわった角度に目をつけ、全体の位置を示す角度が
時間によってどう変化するかを問題にする。

・２次元の回転と１次元の変位は、ほとんどあらゆる量が互いに対応する

・角度θ≒変位ｙ

・回転速度ω＝ｄθ／ｄｔ≒ｖ＝ｄｓ／ｄｔ

・角速度α＝ｄω／ｄｔ＝ｄ^2θ／ｄｔ^2≒加速度

・軸からｒの点にある１点を考え、ある時刻におけるその点の位置がＰ（ｘｙ）
であるとする。

　Δｔだけたって、この物体が全体として⊿θだけまわったとする。ＯＰをｒと
すればＰＱの長さはｒ⊿θなので、ｘの変化はｒ⊿θをｘ方向に投影したもの。

　　　Δｘ＝−ＰＱｓｉｎθ＝−ｒ⊿θ・(ｙ／ｒ)＝−ｙ⊿θ

　同様に

　　　Δｙ＝＋ｘ⊿θ

　この物体の角速度をωとすれば、粒子の速度は

　　　ｖx＝−ωｙ、　ｖy＝＋ωｘ

　速度の大きさは

　　　ｖ＝√(ｖx^2＋ｖy^2)＝√(ω^2ｙ^2＋ω^2ｘ^2)＝ω√(ｘ^2＋ｙ^2)

　　　　　＝ωｒ

・力とは物体の直線運動に必要なもので、物体を回転させるものが”回転力”
あるいは”まわす力”で、これがトルク。

・剛体の回転軸を考え、一つの力だけをとり、この力が点（ｘ、ｙ）にはたらいて
いるとする。この物体を微小角度まわしたときになされる仕事は

　　　ΔＷ＝Ｆx⊿ｘ＋Ｆy⊿ｙ

　であり、

　　　ΔＷ＝(ｘＦy−ｙＦx)⊿θ

・なした仕事の量は、物体をまわした角度に、力と距離の組み合わせをかけたもの
に等しいく、この組み合わせがトルク。

・ΔＷを構成する項のおのおのは⊿θに比例する。

・仕事の変化は物体にはたらいているすべての力いよるﾄﾙｸを全部足し合わせた
ものかける⊿θであるといえ、この和を全トルクτという。

・２次元の回転に対しては

　　　τi＝ｘiＦyi−ｙiＦxi

　及び

　　　τ＝Στi

・トルクは、一つの与えられた軸についてのものであり、別の軸を選べば、ｘiも
ｙiも変わり、トルクの値も（一般には）変わる。

・つりあいに対する条件：力の和がゼロであることとトルクの和がゼロであること

・トルクは接線方向の分力だけがものをいう。

・トルクの式は、力の大きさかけるうでの長さと書いても良い。

・トルクのことを力のモーメントともいう

18-3　角運動量

・粒子のよりあつまりにはたらく外力は、ｐという量が時間的に変化する割合
であって、ｐをその全運動量と名付けた。

・粒子のよりあつまりに外からはたらくトルクは、Ｌという量が時間的に変化する
割合であり、Ｌをその角運動量という。

・トルクはｘＦy−ｙＦxに等しく、ｘ、ｙ方向の力は質量かけるｘ、ｙ方向におけ
る加速度である

　　　τ＝ｘＦy−ｙＦx

　　　　＝ｘｍ(ｄ^2ｙ／ｄｔ^2)−ｙｍ(ｄ^2ｘ／ｄｔ^2)

・トルクは何か時間的に変化する割合であり、これを角運動量Ｌとする。

　　　Ｌ＝ｘｍ(ｄｙ／ｄｔ)−ｙｍ(ｄｘ／ｄｔ)

　　　　＝ｘｐy−ｙｐx

・回転については運動量に対応する角運動量があって、それは直線的運動量の成分
によってあらわされる。

・角運動量にとって大切なことは、粒子が原点からどんな速さで遠ざかるかでは
なく、原点のまわりをどんなにまわっているかである。

・運動量の接線方向の成分のみが角運動量にとって大切

・角運動量とは、運動量の大きさ、かける、運動量のてこのうでであり角運動量に
対しては式が三つある。

　　　Ｌ＝ｘｐy−ｙｐx

　　　　＝ｒｐ接線

　　　　＝ｐ・うでの長さ

・角運動量はどの軸について考えるかという軸の位置により大きさがちがう。

・惑星の動径は相等しい時間に相等しい面積をなめるというケプラーの法則は、
力によるトルクがない場合に角運動量が保存するということを言葉であらわした
もの

18-4　角運動量の保存

・一つの物体の全運動量がすべての部分の運動量を加えた和であるのと同じく、
全角運動量はすべての部分の角運動を加えた和である。

　全Ｌの時間的変化の割合は全トルクである

　　　τ＝Στi＝ΣｄＬi／ｄｔ＝ｄＬ／ｄｔ

・内部トルクは二つずつ対になって打消し合い、任意の軸のまわりの全角運動量
に時間的変化の割合は、その軸に関する外力のトルクに等しい

　　　τ＝Στi＝τ外力＝ｄＬ／ｄｔ

・角運動量保存の法則：粒子系に外からはたらくトルクがないならば、角運動量は
一定で変化しない

・ある粒子の質量がｍiで、位置が（ｘi、ｙi）であるとする。
・円に沿って運動しているものの角運動量は、質量、かける速度、かける軸からの
距離であり、この速度は角速度かける軸からの距離に等しい。

　　　Ｌi＝ｍiｖiｒi＝ｍiｒi^2ω

　あるいは、すべての粒子ｉについて加えると、

　　　Ｌ＝Ｉω

　となり、

　　　Ｉ＝Σ[i]ｍiｒi^2

　である。

・これは運動量が質量かける速度に等しいという法則に対応する。

・Ｉを慣性モーメントＩといい、質量に対応する。

・慣性は各部分の質量だけによってきまるのではなく、それらが軸からどのくらい
の距離にあるかできまる。

・慣性モーメントは、回転に対する慣性であり、質量かける軸からの距離の自乗
をすべて加え合わせた和である。

・慣性モーメントを小さくすれば、角速度は必ず大きくなる。