ファインマン物理Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第２３章　共鳴

23-1　複素数と調和振動

・ある複素数ａは以下にように書ける

　　　ａ＝ｘ＋ｉｙ＝ｒｅ^iθ

　　　ｒ^2＝ｘ^2＋ｙ^2＝(ｘ＋ｉｙ)(ｘ−ｉｙ)＝ａａ*

　　　ａ*：ａの共役複素数

　　　ｘ＝ｒｃоｓθ、ｙ＝ｒｓｉｎθ

　　　ｒ＝√(ｘ^2＋ｙ^2)　、ｔａｎθ＝ｙ／ｘ

・ある定数にｃоｓωｔをかけた形の強制力がはたらいている場合、この力
Ｆ＝Ｆｃоｓωｔは、複素数Ｆ＝Ｆ0ｅ^iωtの実数部分
（ｅiωt＝ｃоｓωｔ＋ｉｓｉｎωｔより）

・振動関数を適当な複素数の実数部分で表す

・位相の遅れが⊿であるような正弦波の表現

　　　Ｆ＝Ｆ0ｅ^i(ωt-⊿)

　　　　　＝Ｆ0ｅ^iωt・ｅ^-i⊿

　　　　　＝Ｆ0ｅ^-i⊿・ｅ^iωt

　　　　　＝Ｆ#ｅ^iωt

　　　Ｆ#＝Ｆ0ｅ^-i⊿

・複素数を使って振動の問題を解く

　　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋ｋｘ／ｍ＝Ｆ／ｍ＝(Ｆ0／ｍ)ｃоｓωｔ

　　Ｆは振動子を動かす力、ｘは変位、ｘr＋ｉｘiという複素数解があるとすると

　　　ｄ^2(ｘr＋ｉｘi)／ｄｔ^2＋ｋ(ｘr＋ｉｘi)／ｍ＝(Ｆr＋ｉＦi)／ｍ

　　　ｄ^2ｘr／ｄｔ^2＋ｋｘr／ｍ＋ｉ(ｄ^2ｘi／ｄｔ^2＋ｋｘi／ｍ)

　　　　　　＝Ｆr／ｍ＋ｉＦi／ｍ

　　ｘの実数部分は力の実数部分に対する方程式を満足する。ただし、方程式が
　線形の場合(ｘが１次あるいはゼロ次のもの)に限る。

・Ｆ#ｅ^iωtを複素数として、次の方程式を解く

　　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋ｋｘ／ｍ＝Ｆ#ｅ^iωt／ｍ

　　強制振動の振動数は、加えられる力の振動数と同じで、ある振幅と位相を
　もち、適当な複素数ｘ#で表される。絶対値はｘの振れの大きさをあらわし、
　その位相は力の場合と同様、時間の遅れをあらわす。

・指数関数は、微分があるごとにｉωをかければよい

　　　ｄ(ｘ#ｅ^iωt)／ｄｔ＝ｉωｘ#ｅ^ｉωt

　　上記より、方程式は次式となり、

　　　(ｉω)^2ｘ#＋(ｋｘ#／ｍ)＝Ｆ#／ｍ

　　　ｘ#＝Ｆ#／ｍ／*1

　となる。

　　振れの大きさｘ#は、Ｆ#の１／(m(ω0^2−ω^2))倍であり、ωとω0が近い
　と非常に大きくなる。

23-2　減衰のある強制振動

・摩擦の力がその物体が動く速さに比例する場合を考える。

　　　Ｆf＝−ｃｄｘ／ｄｔ

　　　ｍ(ｄ^2ｘ／ｄｔ^2)＋ｃ(ｄｘ／ｄｔ)＋ｋｘ＝Ｆ

　　ｃ＝ｍγ、ｋ＝ｍω0^2とおき、両辺を質量ｍで割ると

　　　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋γ(ｄｘ／ｄｔ)＋ω0^2ｘ＝Ｆ

　　ＦがＦ#ｅiωtの実数部分であり、ｘがｘ#ｅ^iωtの実数部分であるとして
　方程式に代入する。

　　　[(ｉω)^2ｘ#＋γ(ｉω)ｘ#＋ω0^2ｘ#]ｅ^iωt＝（Ｆ#／ｍ)ｅ^iωt

　　よって

　　　ｘ#＝Ｆ#／(ｍ(ω0^2−ω^2＋ｉγω))

　　となる。ここで、

　　　Ｒ＝１／(ｍ(ω0^2−ω^2＋ｉγω))、

　　とすると、

　　　ｘ#＝Ｆ#Ｒ

　　Ｒ＝ρｅ^iθのＲを別の書き方をすると、

　　　ｘ#＝ＲＦ#＝ρｅ^iθＦ0ｅ^i⊿＝ρＦ0ｅ^i(θ+⊿)

　　複素数ｘ#の実数部分は、ρＦ0ｅ^i(θ+⊿)ｅ^iωtの実数部分に等しく、
　ｅ^i(θ+⊿+ωt)の実数部分はｃоｓ(ωｔ＋⊿＋θ)であるので、

　　　ｘ＝ρＦ0ｃоｓ(ωｔ＋⊿＋θ)

　である。

・ρを求めるには複素共役をとる

　　　ρ^2＝１／(ｍ^2(ω0^2−ω^2＋ｉγω)(ω0^2−ω^2−ｉγω))

　　　　　　＝１／(ｍ^2[(ω0^2−ω^2)^2＋γ^2ω^2])

・位相角を求める

　　　１／Ｒ＝１／ρｅ^iθ＝(１／ρ)ｅ^-iθ＝ｍ(ω0^2−ω^2＋ｉγω)

　　と書くと、

　　　ｔａｎθ＝−γω／(ω0^2−ω^2)

　　変位ｘは力Ｆよりも遅れているため、すべてのωに対してθは負となる。

・ρ^2について考えると、γが非常に小さいと、１／(ω0^2−ω^2)^2が重要な
　項となる。ωがω0に等しいと無限大になろうとするが、１／γ^2ω^2がある
　ため無限大にはならない。

23-3　電気的共鳴

・電気回路への応用

・キャパシター

　　　Ｖc＝σｄ／ε0＝ｑｄ／ε0Ａ＝ｑ／Ｃ

　　ｄ：平行板の間隔、
　　Ａ：その面積、
　　Ｃ：キャパシターの容量

・レジスター

　　　Ｖr＝ＲＩ＝Ｒｄｑ／ｄｔ

　　Ｒ：抵抗

・コイル

　　　Ｖl＝ＬｄＩ／ｄｔ＝Ｌｄ^2ｑ／ｄｔ^2

　　Ｌ：自己インダクタンス

　
・キャパシターの電荷ｑが力学系の変位ｘに対応すると考えると、
　電流Ｉ＝ｄｑ／ｄｔは速度、１／Ｃはバネ定数ｋに、Ｒは抵抗係数γに、Ｌは
　質量に対応する。

・３種類の回路要素を直列につないで回路を作ると、各回路要素にかかる電圧は
全体の電圧に等しくなる。

　　　Ｖl＋Ｖr＋Ｖc＝Ｖ(ｔ)

　　　Ｌｄ^2ｑ／ｄｔ^2＋Ｒｄｑ／ｄｔ＋ｑ／Ｃ＝Ｖ(ｔ)　　　

　　上式は、振動の力学的方程式と同等で、Ｖ(t)が振動しているものとすると、
　Ｖ(ｔ)を複素数Ｖ#であらわすことができる。ｑ#＝ｑｅ^iωtなので、

　　　（Ｌ(ｉω)^2＋Ｒ(ｉω)＋１／Ｃ)ｑ#＝Ｖ#、

　　すなわち

　　　ｑ#＝Ｖ#／(Ｌ(ｉω)^2＋Ｒ(ｉω)＋１／Ｃ))

　　　　　＝Ｖ#／(Ｌ(ω0^2−ω^2＋ｉγω))

　　　ただし、ω0^2＝１／ＬＣおよびγ＝Ｒ／Ｌである。

・電気の場合と力学の場合の対応表

一般特性	力学的性質	電気的性質
独立変数	時間(ｔ)	時間(ｔ)
従属変数	位置(ｘ)	電荷(ｑ)
慣性	質量(ｍ)	インダクタンス(Ｌ)
抵抗	抵抗係数(ｃ＝γｍ)	抵抗(Ｒ＝γＬ)
かたさ	かたさ(ｋ)	(ｷｬﾊﾟｼﾀﾝｽ)^-1(１／Ｃ)
共鳴振動数	ω0^2＝ｋ／ｍ	ω0^2＝１／√(ＬＣ)
周期	ｔ0＝２π√(ｍ／ｋ)	ｔ0＝２π√(ＬＣ)
するどさ	Ｑ＝ω0／γ	Ｑ＝ω0Ｌ／Ｒ

*1:ｋ／ｍ)−ω^2) 　となる。ｋ／ｍ＝ω0^2を代入すると、 　　　ｘ#＝Ｆ#／(m(ω0^2−ω^2