ファインマン物理Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第２４章　過渡現象

24-1　振動子のエネルギー

・任意の量Ａを考え、Ａ＝Ａ#ｅ^iωtとする。

・特定の瞬間のエネルギーは問題ではなく、単にＡ^2の平均値、すなわち振動周期
にくらべて長い時間におけるＡの自乗平均が必要

・Ａ^2の平均はＡ0^2であり、Ａ0^2は複素数Ａ#の絶対値の自乗
　（|Ａ#|^2、Ａ#Ａ#*）

・強制振動のエネルギーを考える。

　　　ｍｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋γｍｄｘ／ｄｔ＋ｍω0^2ｘ＝Ｆ(ｔ)

　　Ｆ(ｔ)はｔのコサイン関数

　外力Ｆにより毎秒なされる仕事率はＦｄｘ／ｄｔなので

　　　Ｐ＝Ｆｄｘ／ｄｔ＝ｍ[(ｄｘ／ｄｔ)(ｄ^2ｘ／ｄｔ^2)

　　　　　　　＋ω0^2ｘ(ｄｘ／ｄｔ)]＋γｍ(ｄｘ／ｄｔ)^2

　第１項と題２項はｄ／ｄｔ[ｍ(ｄｘ／ｄｔ)^2／２＋ｍω0^2ｘ^2／２]と書ける。

　一つは運動エネルギー、もう一つは位置エネルギーの微分であり、この量を
　蓄積エネルギー(振動中に蓄えられたエネルギー)という。

　長期的に見ると、蓄積エネルギーは変化せず、微分からくる影響はゼロとなるの
　で、長時間にわたり仕事率の平均をとると、すべてのエネルギーは摩擦項
　γｍ(ｄｘ／ｄｔ)^2に吸収される。

　したがって、平均仕事率<Ｐ>は次式となる。

　　　<Ｐ>＝<γｍ(ｄｘ／ｄｔ)^2>

　　ｘ＝ｘ#ｅ^iωtでありばｄｘ／ｄｔ＝ｉωｘ#ｅ^iωtであり、
　<Ａ^2>=Ａ0^2／２を使うと平均仕事率は次式となる。

　　　<Ｐ>＝γｍω^2ｘ0^2

　　電気回路では、ｄｘ／ｄｔは電流Ｉ、ｍγは抵抗Ｒに対応する。エネルギー
　損失の割合(強制力関数により費やされる仕事率)は回路中の抵抗と電流の
　自乗平均となる。(熱損失、ジュール熱と呼ばれる)

　　　<Ｐ>＝Ｒ<Ｉ^2>＝(Ｒ・Ｉ0^2)／２

・どれだけのエネルギーが蓄積されるかを考える。(仕事率と同じではない）
・仕事率は、はじめはエネルギーを蓄えるのに使われるが、その後は熱(抵抗)損失
がある限り、仕事率を吸収し続ける。

・平均蓄積エネルギー<Ｅ>を計算する。

　　　<Ｅ>＝(ｍ／２)<(ｄｘ／ｄｔ)^2>＋ｍω0^2<ｘ^2>／２

　　　　　　＝(ｍ／２)(ω^2＋ω0^2)(１／２)ｘ0^2

・振動子の効率が非常に良く、ωがω0に近くて|ｘ#|が大きいときには蓄積エネル
ギーは非常に大きい。

・蓄積エネルギーと１サイクル中になされる仕事を比べる：Ｑを定義する

・Ｑ：平均蓄積エネルギーに２πをかけたものを１サイクルあたりになされる仕事
で割ったもの

　　　Ｑ＝(ω^2＋ω0^2)／２γω

・Ｑの値が大きい時、振動子がどのくらいよいものかを知る目安になる。

・よい振動子で共鳴に近い場合、ω＝ω0とおき、Ｑ＝ω0／γとなる。

・電気回路の共鳴のＱはＱ＝Ｌω／Ｒであり、Ｑが大きい回路は、その振動を駆動
する機械により１周期毎になされる仕事の量にくらべて駆動として蓄積される
エネルギーが非常に大きいことを意味する。

24-2　減衰振動

・過渡現象は外力が働いていないときの微分方程式の解で、系が静止しているの
ではないもの。

・強制振動の方程式の解をｘ＝Ａｅ^iαtとすると、

　　　(−α^2＋ｉγα＋ω0^2)Ａｅ^iαt＝０

　　　−α^2＋ｉγα＋ω0^2＝０

　を解いて一つのαが求まれば解となる。

　　　α1＝ｉγ／２＋√(ω0^2−γ^2／４)＝ｉγ／２＋ωr

　および

　　　α2＝ｉγ／２−√(ω0^2−γ^2／４)＝ｉγ／２−ωr

　　最初の解について考えると、ｘの解はｘ1＝Ａｅ^iα1tである(Ａはある定数)。
　ここで、ωγ＝√(ω0^2−γ^2／４)とするとｉα1＝−γ／＋ｉωγとなり、
　ｘ＝Ａｅ^(-γ/2+iωγ)tを得る。

　　　ｘ1＝Ａｅ^-γt/2・ｅ^iωγt

　　もう一つの解はα2であり、ωγの符号が逆になる。

　　　ｘ2＝Ｂｅ^-γt/2・ｅ^-iωγt

　　ｘ1とｘ2がそれぞれＦ＝０とした場合の方程式の解であれば、ｘ1＋ｘ2もこの
　方程式の解である。

　　　ｘ＝ｅ^-γt/2(Ａｅ^iωγt＋Ｂｅ^-iωγt)

　ＢはＡの共役複素数である必要があるので、実数解は次式となり、位相のずれと
　減衰を伴った振動になる。

　　　ｘ＝ｅ^-γt/2(Ａｅ^iωγt＋Ａ*ｅ^-iωγt)

24-3　電気的の過渡現象

・振動が減衰する様子を表す数学的表現

　　　ｘ＝ｅ^-γt/2[ｘ0ｃоｓωγｔ＋(ｖ0＋γｘ0／2)ωγｓｉｎωγｔ]

　　　ωγ＝＋√(ω0^2−γ^2／４)