ファインマン物理Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第４章　静電気　メモ

4-1　静電磁気学

・マクスウェルの方程式
　　　∇・Ｅ~＝ρ／ε0、　　　　　　　　　　(4.1)

　　　∇×Ｅ~＝−∂Ｂ~／∂ｔ、　　　　　　　(4.2)

　　　ｃ^2∇×Ｂ~＝∂Ｅ~／∂ｔ＋ｊ~／ε0、　(4.3)

　　　∇・Ｂ~＝０　　　　　　　　　　　　　 (4.4)

・電荷はすべて空間に固定されていて、動くにしても回路内を定常の流れを
なして動く（ρもｊ~時間的に変わらない）条件下では、マクスウェルの方程式
に現れる場の時間微分はすべて０になる。

　静電気：　∇・Ｅ~＝ρ／ε0　　　　　(4.5)

　　　　　　∇×Ｅ~＝０　　　　　　　 (4.6)

　静磁気：　∇×Ｂ~＝ｊ~／ε0ｃ^2　　 (4.7)

　　　　　　∇・Ｂ~＝０　　　　　　　（4.8)

・電荷も電流も時間的に不変である限り、電気と磁気は別々の現象
・電荷や電流に変化があり、変化が急速でマクスウェル方程式中の時間微分が重要
になってはじめてＥ~とＢ~は互いに関係する

・静電気はcurlが０(渦なし)でdivの値の与えられたベクトル場の例題
・静磁気はdivがなくてcurlが与えられた場の例題

4-2　クーロンの法則；重ね合わせ

・静止した２電荷の間には電荷の積に比例し距離の２乗に逆比例する力がはたらき
力は一方の電荷から他方へ結ぶ直線の方向にある。

　クーロンの法則：　Ｆ~1＝(１／４πε0)(ｑ1ｑ2／ｒ12^2)ｅ~12＝−Ｆ~2 (4.9)

　Ｆ~1は電荷ｑ1にはたらく力、ｅ~12はｑ2からｑ1の方向の単位ベクトル、
ｒ12はｑ1とｑ2の間の距離。ｑ2にはたらくＦ~2はＦ~1と等しく向きが反対

　比例定数は１／４πε0と書かれる。

　　　１／４πε0＝１０^-7ｃ^2 (定義)

　　　　　　　　　＝９．０×１０^9 (実験)　　　　(4.10)

　　　単位：(ニュートン)・ｍ^2／(クーロン)^2

　　　　　　(ボルト)・ｍ／(クーロン)

・ｑ1に働く単位電荷あたりの力を場Ｅ~(1)という。

　ｑ1のほかに電荷が一つしかないとき

　　　Ｅ~(1)＝(１／４πε0)(ｑ2／ｒ12^2)ｅ~12　　　(4.11)

　Ｅ~(1)は点(1)における電場であるという。

・ｘ成分を書くと次式となる

　　　Ｅx(ｘ1,ｙ1,ｚ1)＝

(ｑ2/4πε0)(ｘ1−ｘ2)/[(ｘ1−ｘ2)^2＋(ｙ1−ｙ2)^2＋(ｚ1−ｚ2)^2]^3/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.12)

・ｊ番目の電荷の量をｑjとし、ｑjから点(1)への距離をｒ1jとすると

　　　Ｅ~(1)＝Σ[j](１／４πε0)(ｑj／ｒ1j^2)ｅ~1j　　　　(4.13)

　　　Ｅx(ｘ1,ｙ1,ｚ1)＝

　　　　　Σ[j](1/4πε0)ｑj(ｘ1−ｘ2)
　　　　　　　　　　　/[(ｘ1−ｘ2)^2＋(ｙ1−ｙ2)^2＋(ｚ1−ｚ2)^2]^3/2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4.14)

4-3　電位

・電位(電気ポテンシャル)の概念は、電荷を選んである点から他の点に行く仕事
に関係する。

・電気力に対してする仕事は、運動方向への電気力の成分の符号をかえたものを
道筋にそって積分したものに等しい

　点ａから点ｂまで電荷をはこぶと

　　　Ｗ＝−∫[a→b]Ｆ~・ｄｓ~

　で、ここにＦ~は各点で電荷に働く電気力、ｄｓ~は道筋にそう微分変位ベクトル

・１単位の電気量をはこぶときの仕事を考えると都合がよく、電荷にはたらく力は
数値としては電場と同じである。このとき電気力に対してする仕事をＷ(単位)と
かくと、

　　　Ｗ(単位)＝−∫[a→b]Ｅ~・ｄｓ~　　　　(4.19)

　静電位：　　　φ(Ｐ)＝−∫[P0→P]Ｅ~・ｄｓ~　　　　(4.22)

　　基準点を無限遠にとり、原点にだた１個の電荷があるとき、任意の点
　ｘ、ｙ、ｚのポテンシャルφは

　　　φ(ｘ、ｙ、ｚ)＝(ｑ／４πε0)・(１／ｒ)　　　　(4.23)

　　重ね合わせの原理により、電位φに対する式は

　　　φ(1)＝Σ[j](１／４πε0)・(ｑj／ｒ1j)　　　　(4.24)

　　　φ(1)＝(１／４πε0)∫ρ(２ｄＶ2／ｒ12　　　　(4.25)

　ここに点(1)は電位を求める点。
　電位φの物理的意味：単位の電荷が基準点から空間の与えれた点まで運ばれる
とき得る位置エネルギー

4-4　Ｅ~＝−∇φ

・Ｅ~はφから容易に求まる　

・ｘとｘ＋ｄｘにあり、ｙとｚは同じ値をもつ２点を考え、単位電荷を一方から
他方へ運ぶ仕事はいくらになるか

　　　?Ｗ＝φ(ｘ＋ｄｘ、ｙ、ｚ)−φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝(∂φ／∂ｘ)ｄｘ

　場に対してする仕事は同じ道について

　　　?Ｗ＝−∫Ｅ~・ｄｓ~＝−Ｅxｄｘ

　従って

　　　Ｅx＝−∂φ／∂ｘ　　　　(4.26)

　同様にＥy＝−∂φ／∂ｙ、Ｅz＝−∂φ／∂ｚでまとめると

　　　Ｅ~＝−∇φ　　　　(4.27)

　これは(4.22)の微分形。

・任意の動径方向の力に対して、仕事は道に無関係であり、ポテンシャルが存在
する。

・ポテンシャルが存在し、Ｅ~のcurlが０であることは単に静電力の対称性と
方向性からくること。