マーカス・デュ・ソートイ 富永 星 訳 「素数の音楽」

素数の音楽 (新潮文庫)

マーカス・デュ・ソートイ　富永 星 訳　「素数の音楽」

第三章 ＜リーマンの架空の鏡＞ メモ

＜ゼータ関数＞
ζ(x) = 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + ・・・1/n^x

・x=1のとき、値は無限になる（調和級数と呼ぶ）。

　　1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ・・・

・x<1のときも無限になる。

・xに1より大きな数を入れると、有限な値に収束する。

・x=2のときの値をオイラーが突き止めた

　　1 + 1/4 + 1/9 + ・・・ = (π^2)/6

＜オイラー積表示＞
ζ(x) = 1/1^x + 1/2^x + 1/3^x + ・・・1/n^x + ・・・

　　　= (1 + 1/2^x + 1/4^x + ・・・)×(1 + 1/3^x + 1/9^x + ・・・)×・・・

　　　　×(1 + 1/p^x + 1/(p^2)^x + ・・・)×・・・

・左辺がゼータ関数で、右辺に素数が登場し、素数を掛け合わせればすべての数を作れる
　という事実が封じ込められている。

・ゼータ関数がガウスの素数定理を解く鍵となる。