マーカス・デュ・ソートイ 富永 星 訳 「素数の音楽」

素数の音楽 (新潮文庫)

マーカス・デュ・ソートイ　富永 星 訳　「素数の音楽」

第八章 ＜頭脳機械＞ メモ

・ゲーデルは、どのような公理を選んでも、それを使って数学に矛盾がおこらないことを
　証明するのは不可能であることを示した。

・矛盾のない理論はあり得るが、その理論に矛盾がないことはその理論の中では証明
　できない。

・かりに数学のある公理群が無矛盾だとすると、数に関する言明のなかに、常に成り立つ
　にもかかわらずそれらの公理からは形式的に証明することができないものが存在する。

・数学の基礎にどれほどたくさんの公理を付け加えようと、必ず証明できない真の言明が
　残る。

・無矛盾な公理体系はすべて、それらの公理から演繹できない正しい言明が存在するという
　意味で、必然的に不完全→ゲーデルの不完全正定理

・ゲーデルのいう、正しいのに証明できない言明と、証明できる言明との違いを見分ける
　方法は存在するのか？

・ヒルベルトの「決定問題」
　証明を付けられる言明と付けられない言明を峻別する方法は存在するか？

・チューリングは、そのような判別を可能にする機械を作ることができないことを証明した。