ファインマン物理Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第７章　色々の場合の電場(続き)

7-1　電場の求め方

・電荷分布が決まっていれば静電場の問題は積分だけですむ。

・導体がある場合、導体上の電荷分布ははじめに分かっていないため複雑になる
　　↓
　間接法で解く

・直接法の数学的問題はラプラス方程式

　　　∇^2φ＝０　　　　(7.1)

　の解で、φがある境界面−導体面−上で一定という条件に従うものを求めること。

・境界条件をみたす場の微分方程式の解を求める問題を境界値問題という。

・唯一の一般的解法は数値的解法だけ

・２次元の問題では∂／∂ｚ＝０であるから、自由空間内のφの方程式は、

　　　∂^2φ／∂ｘ^2＋∂^2φ／∂ｙ^2＝０　　　　(7.2)

7-2　２次元の場；複素変数の関数

・複素変数δを次式で定義する。

　　　δ＝ｘ＋ｉｙ

　あるＦ(δ)に対してδ＝ｘ＋ｉｙを代入すると、実部と虚部をもつｘとｙの関数が
得られる。

　　　δ^2＝(ｘ＋ｉｙ)^2＝ｘ^2−ｙ^2＋２ｉｘｙ　　　　(7.3)

　どんな関数Ｆ(δ)も実部と虚部の和として書かれ、どちらもｘとｙの関数である。

　　　Ｆ(δ)＝Ｕ(ｘ、ｙ)＋ｉＶ(ｘ、ｙ)　　　　　(7.4)

　ここにＵ(ｘ、ｙ）もＶ(ｘ、ｙ)も実関数。

・関数ＵとＶは自動的に

　　　∂Ｕ／∂ｘ＝∂Ｖ／∂ｙ　　　　(7.7)

　　　∂Ｖ／∂ｘ＝−∂Ｕ／∂ｙ　　　(7.8)

　の関係を満たす。これからＵもＶもラプラスの方程式

　　　∂^2Ｕ／∂ｘ^2＋∂^2Ｕ／∂ｙ^2＝０、　　　　(7.9)

　　　∂^2Ｖ／∂ｘ^2＋∂^2Ｖ／∂ｙ^2＝０、　　　　(7.10)

　を満たす。

・任意の普通の関数から出発して２次元のラプラス方程式の解である二つの関数
Ｕ(ｘ、ｙ)、Ｖ(ｘ、ｙ)が得られる。どちらも可能な静電ポテンシャルを表す。

・ＵとＶのどちらも解を表すので、二つの問題の解である。

第８章　静電エネルギー

8-1　電荷の静電エネルギー；一様な球

・二つの電荷を寄せてくるための仕事

　　　ｑ1ｑ2／４πε0ｒ12　　　　(8.1)

　ｑiとｑjを任意の２電荷、ｒijをその間の距離とすると、特定のエネルギーは

　　　ｑiｑj／４πε0ｒij　　　　(8.2)

　全静電エネルギーＵは可能な対すべてにわたるエネルギーの和

　　　Ｕ＝Σ[すべての対]ｑiｑj／４πε0ｒij　　　　　(8.3)

・無限小の厚さをもつ薄層を積み重ねて球をつくり上げる。
　各プロセスで少量の電荷を集めｒからｒ＋ｄｒまでの薄層の中に入れる。
　半径ｒになったとき球のもつ電荷をＱrとすると、それに電荷ｄＱをつけ加える仕事
　は

　　　ｄＵ＝ＱrｄＱ／４πε0ｒ　　　　(8.4)

　球内の電荷密度がρであれば、電荷Ｑrは

　　　Ｑr＝ρ・４πｒ^3／３

　で電荷ｄＱは

　　　ｄＱ＝ρ・４πｒ^2ｄｒ

　式(8.4)は次式となる。

　　　ｄＵ＝４πρ^2ｒ^4ｄｒ／３ε0　　　　(8.5)

　球を組み立てるのに必要な全エネルギーはｒ＝０からｒ＝ａまでｄＵを積分して
求まる

　　　Ｕ＝４πρ^2ａ^5／１５ε0　　　　(8.6)

　球の全電荷Ｑを使って結果を表すと

　　　Ｕ＝(３／５)・Ｑ^2／４πε0ａ　　　　(8.7)

　エネルギーは全電荷の２乗に比例し半径に反比例する。
　(8.7)は球内の対について(1/ｒij)の平均が3/5aであることを示す

8-2　コンデンサーのエネルギー；帯電導体のうける力

・コンデンサーの導体の一方から電荷Ｑを取り去り、これを他方に与えると、
導体かんの電位差は

　　　Ｖ＝Ｑ／Ｃ　　　　(8.8)

　コンデンサーを充電するのに必要な仕事は、電荷の増加ｄＱを移すことにより
コンデンサーを充電すると考える。電荷dQを移動させる仕事は

　　　ｄＵ＝ＶdQ

　式(8.8)からＶを代入し、

　　　ｄＵ＝ＱdQ／Ｃ

　電荷のない状態から最終の電荷Ｑまで積分すると

　　　Ｕ＝(１／２)Ｑ^2／Ｃ　　　　(8.9)

　このエネルギーは

　　　Ｕ＝(１／２)ＣＶ^2　　　　(8.10)

　　導体球の容量(無限遠に対する)が

　　　Ｃ球＝４πε0ａ

　であるので、帯電球のもつエネルギーは式(8.9)から

　　　Ｕ＝(１／２)Ｑ^2／４πε0ａ　　　　(8.11)

　これは全電荷Ｑをもつうすい球殻のエネルギーであり、一様に帯電した球の
　エネルギー、式(8.7)の5/6になっている。