ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性

ファインマン物理学〈4〉電磁波と物性

第3章　導波管　メモ

3-1　伝送線

・内部導体が薄い中空の円筒、外部導体も別の薄い円筒で内部導体と同じ軸をもつ
ものを考える。

・単位長さあたりのインダクタンスをＬ0、単位長さあたりのキャパシタンスをＣ0
とする。

　ｘとｘ＋⊿ｘの間で電圧降下が生じる。

　　　⊿Ｖ＝Ｖ(ｘ＋⊿ｘ)−Ｖ（ｘ）＝−Ｌ0⊿ｘｄＩ／ｄｔ

　⊿ｘ→０の極限をとり次式を得る。

　　　∂ｖ／∂ｘ＝−Ｌ0∂Ｉ／∂ｔ　　　　　(3.1)

　変化する電流は電圧の勾配を与える。

　入り込む電流Ｉ（ｘ）と出て行く電流Ｉ（ｘ＋⊿ｘ）の差を?Ｉとすると

　　　⊿Ｉ＝−Ｃ0ｄＶ／ｄｔ

　であり、⊿ｘ→０の極限をとると

　　　∂Ｉ／∂ｘ＝−Ｃ0∂Ｖ／ｄｔ　　　　　(3.2)

　電荷の保存は電流の勾配が電圧の時間的変化に比例する。

　　　∂^2Ｖ／ｄｔ^2＝Ｃ0Ｌ0∂^2Ｖ／∂ｔ^2　　　　　(3.3)

　　　∂^2Ｉ／∂ｘ^2＝Ｃ0Ｌ0∂^2Ｉ／∂ｔ^2　　　　　(3.4)

　速度ｖは、∂^2／∂ｔ^2の係数が１／ｖ^2であるので

　　　ｖ＝１／√（Ｌ0Ｃ0)　　　　　(3.5)

　伝送線の中の各々の波に対する電圧はその波の電流に比例し、
比例定数はちょうど特性インピーダンスＺ0に等しい。

　　　Ｚ0＝√(Ｌ0／Ｃ0)　　　　　(3.7)

　ａとｂをそれぞれ内導体と外導体の半径とすると単位長さのインダクタンス

　　　Ｌ0＝ｌｎ（ｂ／ａ）／２πε0ｃ^2　　　　(3.10)

　キャパシティー

　　　Ｃ＝２πε0ｌ／ｌｎ（ｂ／ａ）

　単位長さのキャパシティーはＣ／ｌ

　　　Ｚ0＝ｌｎ（ｂ／ａ）／２πε0ｃ　　　　　(3.11)

3-2　矩形導波管

・管の中の波は数学的に

　　　Ｅy＝Ｅ0ｓｉｎｋxｘｅ^i(ωt-ｋzｚ)　　　　　(3.12)

　ｋx＝π／ａとする。ａは管内の幅。

　∇・Ｅ~＝０

　マクスウェル方程式

　　　∂^2Ｅy／∂ｘ^2＋∂^2Ｅy／∂ｙ^2＋∂^2Ｅy／∂ｚ^2

　　　　　　　−(１／ｃ^2)(∂^2Ｅy／∂ｔ^2)＝０　　　　　(3.15)

　　　ｋx^2Ｅy＋ｋz^2Ｅy−(ω^2／ｃ^2)Ｅy＝０

　　　ｋx^2＋ｋz^2−ω^2／ｃ^2＝０　　　　　(3.16)

　　　ｋz＝√(ω^2／ｃ^2)−(π^2／ａ^2)　　　(3.17)

　であれば存在し得る。

　位相速度は

　　　ｖ＝ω／ｋz　　　　　(3.18)

　λgをｚ方向に沿う振動の波長とすると、(3.17)は

　　　λg＝λ0／√(１−(λ0／２ａ)^2)　　　　　(3.19)

3-3　遮断周波数

・式(3.16)をｋzについて解くと二つの根が得られる。

　　　ｋz＝±√（(ω^2／ｃ^2)−(π^2／ａ^2)）　　　　(3.20)

・周波数がある臨海周波数ωc＝πｃ／ａよりも小さくなると、波数ｋzは虚数
になり、解はなくなる。　

・ωc＝πｃ／ａよりも低い周波数の波は管に沿って伝搬しない。

・周波数ωcは管の遮断周波数と呼ばれる。

・任意の波の問題において、ある周波数でｋが虚数になれば、それは波の形が
変化したこと、すなわち正弦波が指数関数になったことを意味する。

3-4　導波管内の波の強さ

・位相速度

　　　ｖphase＝ｃ／√(１−(ωc／ω)^2）　　　　　(3.25)

・遮断周波数よりも高いときは、進行波が存在するがωc／ωは１よりも小さい
のでｖphaseは実数で光速度よりも大きい。

・動いているのは波の節であり、エネルギーや情報ではないため光速度よりも
大きい位相速度は可能。

・群速度

　　　ｖgroup＝ｄω／ｄｋ　　　　　(3.26)

　　　ｖgroup＝ｃ√(１−(ωc／ω)^2)　　　　　(3.27)

　光速度より小さい

・ｖphaseとｖgroupの幾何平均はちょうど光速度ｃになる。

　　　ｖphaseｖgrpoup＝ｃ^2　　　　　(3.28)

・運動量ｐとエネルギーＵは

　　　Ｕ^2＝ｐ^2ｃ^2＋ｍ^2ｃ^4　　　　　(3.29)

　量子力学ではｈω、運動量はｈ／λであり、ｈｋに等しい。よって式(3.29)は

　　　ω^2／ｃ^2＝ｋ^2＋ｍ^2ｃ^2／ｈ^2　　　　　(3.30)

　　　ｋ＝√（(ω^2／ｃ^2)−(ｍ^2ｃ^2／ｈ^2)）　　　　(3.31)

　と書ける。

　管を伝わるパワーｄＵ／ｄｔは

　　　ｄＵ／ｄｔ＝ε0Ｅ0^2ａｂｖgroup　　　　　(3.32)

　である。