ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性

ファインマン物理学〈4〉電磁波と物性

第20章　粘性のある流れ　メモ

20-1　粘性

・実際の流れでは、粘性と呼ばれる内部摩擦が無視できる場合はほとんどない。

・静的な状況ではずりの応力は存在しない。
　平行に達するまでは力を加え続ける限り応力は存在しうる。
・粘性は、動いている流体中に存在するずりの応力を表すもの。

・平な２枚の個体の面の間に水があるとする。
　一つは固定し、他方の面をこれに平行に速さｖ0で動かす。
　上の板を動かし続けるのに要する力は、板の面積とｖ0／ｄに比例する
　（ｄは板の間の距離）

　ずりの応力Ｆ／Ａはｖ0／ｄに比例し、

　　　Ｆ／Ａ＝ηｖ0／ｄ

　であり、比例定数ηを粘性率という。

・流れに平行な面をもつ小さな、平たい長方形の部分を水の中に考えると、この部分を通して働くずりの力は

　　　⊿Ｆ／⊿Ａ＝η⊿ｖx／⊿ｙ＝η∂ｖx／∂y　　　　　　(20.2)

　一般の場合

　　　Ｓxy＝η（∂ｖy／∂ｘ＋∂ｖx／∂ｙ）　　　　　　　(20.3)

　と書く。

・二つの同心円筒の間の流体の運動を考える。
　内側の円筒は半径ａ、周辺速度ｖaをもち、外側の円筒は半径ｂ、速度ｖbをもつとする。
　軸からｒの距離の液体に対する粘性によるずりの応力を表す式をつくる。
　流れは常に接線方向であり、その大きさはｒだけに関係すると仮定し、ｖ＝ｖ(ｒ)とする。
　距離ｒの水に浮かべた小粒に着目すると、その座標は

　　　ｘ＝ｒｃоｓωｔ、　ｙ＝ｒｓｉｎωｔ

　ここでω＝ｖ／ｒであり、速度のｘ、ｙ成分は

　　　ｖx＝−ｒωｓｉｎωｔ＝−ωｙ、ｖy＝ｒωｃоｓωｔ＝ωｘ　　(20.4)

　である。(20.3)より、

　　　Ｓxy＝η［∂／∂ｘ(ｘω)−∂／∂ｙ(ｙω)］

　　　　　＝η［ｘ∂ω／∂ｘ−ｙ∂ω／∂ｙ］　　　　(20.5)

　点ｙ＝０において∂ω／∂ｙ＝０でありｘ∂ω／∂ｘはｒｄω／ｄｒに等しいので

　　　（Ｓxy)y=0＝ηｒｄω／ｄｒ　　　　　(20.6)

・半径ｒの円筒の面を通して働くトルクは、ずりの応力にモーメントの腕ｒと面積２πｒｌをかけて求める。

　　　τ＝２πｒ^2ｌ（Ｓxy)y=0＝２πηｌｒ^3ｄω／ｄｒ　　　(20.7)

　ただし、ｌは円筒の長さ。

・ｒとｒ＋ｄｒとの間の円筒形の殻の水に働く全トルクは０。
　ｒにおけるトルクはｒ＋ｄｒにおける等しくて符号が逆なトルクと釣り合わなければならない。
　よってτはｒに無関係で、ｒ^3ｄω／ｄｒはある定数Ａに等しい。

　　　ｄω／ｄｒ＝Ａ／ｒ^3　　　　　(20.8)

　積分して

　　　ω＝−Ａ／２ｒ^2＋Ｂ　　　　　(20.9)

　定数ＡとＢは、ｒ＝ａでω＝ωa、ｒ＝ｂでω＝ωbの条件で定める。

　　　Ａ＝２ａ^2ｂ^2（ωb−ωa)／（ｂ^2−ａ^2）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(20.10)
　　　Ｂ＝（ｂ^2ωb−ａ^2ωa）／（ｂ^2−ａ^2）

　トルクを求めるには(20.7)と(20.8)から

　　　τ＝２πηｌＡ

　あるいは

　　　τ＝４πηｌａ^2ｂ^2（ωb−ωa）／（ｂ^2−ａ^2）　　　(20.11)