ファインマン物理学Ⅳ 電磁波と物性

ファインマン物理学〈4〉電磁波と物性

第18章　弾性体　メモ

18-1　ひずみのテンソル

・弾性体内部で起こることを一般的に考察する
・弾性体の任意の点の局所的なひずみは、各点における対称テンソルの成分である６個の数値を与えることで達成される。

・ｒ~＝（ｘ、ｙ、ｚ）の点Ｐにあった粒がｒ~'＝（ｘ’、ｙ’、ｚ’）の新しい位置Ｐ’に移動する。ＰからＰ’への変位ベクトルをｕ~とすると

　　　ｕ~＝ｒ~'ーｒ~　　　　　(18.1)

　ｘにあった粒の移動ｕxはｘに比例する。

　　　ｕx／ｘ＝?ｌ／ｌ

　　　ｕx＝ｅxxｘ

　と書く。

　　　ｅxx＝∂ｕx／∂ｘ　　　　　(18.2)

　　　ｅyy＝∂ｕy／∂y、　ｅzz＝∂ｕz／∂z　　　　(18.3)

・伸びあるいは圧縮とずりを含む最も一般的な変形において、ひずみの状態は９個の数値

　　　ｅxx＝∂ｕx／∂ｘ

　　　ｅyy＝∂ｕy／∂ｙ　　　　　　　　　　　　　　(18.7)

　　　　　　・
　　　　　　・
　　　　　　・

　　　ｅxy＝（∂ｕy／∂ｘ＋∂ｕx／∂ｙ）／２

　を与えることで定義される。これらはひずみのテンソルの要素。
　常にｅxy＝ｅyxなので、これらは対称テンソルで、実際には６個の数値で定められる。

・ひずみが一様でない場合、局所的な回転を生じ、変形が小さいならば

　　　?ｕi＝Σj（ｅij−ωij）?ｘj　　　　　(18.10)

　となる。ωijは非対称テンソル

　　　ωij＝（∂ｕj／∂ｘi−∂ｕi／∂ｘj）／２　　　(18.11)

　であり、回転を表す。

18-2　弾性のテンソル

・応力テンソルＳijをj軸に垂直な単位面積に働くi番目の力として定義する。
　係数をＣijklとする。

　　　Ｓij＝Σ(kl)Ｃijklｅkl　　　　　　(18.12)

　i、j、k、lは１、２、３・・・の値をとる。
　Ｃijklは一つのテンソルを他のテンソルと関係づけるもので、それ自身一つのテンソルであり、４階のテンソル。これを弾性テンソルという