ファインマン物理学Ⅴ 量子力学

ファインマン物理学〈5〉量子力学

第2章　波動的観点と粒子的観点との関係　メモ

1-1　確率波の振幅

・量子力学的体系は、おこりうるあらゆる事象に対し、その振幅を与える。
　その事象が１個の粒子を扱う場合、異なる場所と異なる時刻において、その１個の粒子を発見する振幅を与えることができる。
　その粒子を発見する確率は、その振幅の絶対値の２乗に比例する。

・ある特別な場合、その振幅は時間・空間的にｅ^i(ωt-k~・r~)のように正弦的に変化する。
　ここでｒ~は原点からの位置ベクトル。
　この振幅はある決まった振動数ωと波数ｋ~をもち振動する。
　この振幅は、１個の粒子がエネルギーＥをもち、振動数と

　　　Ｅ＝ｈ'ω　　　　(2.1)

　の関係をもち、その運動量がｐ~であり、それが波数と

　　　ｐ~＝ｈ'ｋ~　　　　(2.2)

　の関係にある。（ｈ'＝ｈ／２π）

・波束の拡がりが小さいとき、その波長というものを一義的に定義できない。
　そのような波束は一定の波長をもたず、その波数に不確定さがあり、その運動量に不確定さがある。

2-2　位置と運動量の測定

・粒子が幅Ｂの孔を抜けると、その孔を通り抜けたあとでは垂直方向の位置（ｙ方向の位置）を±Ｂの精度でしることになる。
　位置の不確定さ⊿ｙはＢの程度の大きさ。
　粒子が孔を通り抜けたことにより、垂直方向の運動量に関する知識は失われた。
　波がスリットを通り抜けると、拡がり回折し、直進しない確率をもつ。

・垂直方向への運動量の拡がりｐyはｐ0⊿θに等しい。（ｐ0は水平方向の運動量の大きさ）
　拡がった回折像の⊿θはλ／Ｂで、⊿ｐy＝ｐ0λ／Ｂとなる。
　Ｂを小さくして粒子の位置を正確に測定しようとすると、回折像はさらに拡がり、粒子が横向きの運動量をもつ可能性も大きくなる。
　垂直方向の運動量はｙの不確定さに逆比例する。

・λは波長で、ｐ0は運動量であり、波長の運動量をかけたものはプランク定数に等しい。
　垂直方向の運動量と垂直方向の位置の不確定さの積はｈの程度の大きさである。

　　　⊿ｙ⊿ｐy＝ｈ　　　　　(2.3)

・粒子の垂直方向の位置が分かっているとき、(2.3)式で与えられるより正確にその垂直方向への運動量の値を予知できる体系を設定することはできない。
　位置についての知識の不確定さが⊿ｙであるとき、垂直方向における運動量の不確定さはｈ／⊿ｙよりも大きい。

2-4　原子の大きさ

・核からの電子の距離をａの程度とする。
　電子の運動エネルギーは、大よそｍｖ^2／２＝ｐ^2／２ｍ＝ｈ^2／２ｍａ^2で与えらえる。
　位置のエネルギーは−ｅ^2／ａ
　ａを小さくすると位置のエネルギーは減少するが、不確定性原理によりその運動量は大きくなり、運動のエネルギーは増大する。

　全エネルギーは

　　　Ｅ＝ｈ^2／２ｍａ^2−ｅ^2／ａ　　　　　(2.10)

　電子はエネルギーをできるだけ小さくしようとする。
　Ｅの極小を求める

　　　ｄＥ／ｄａ＝−ｈ^2／ｍａ^3＋ｅ^2／ａ^2　　　　(2.11)

　ｄＥ／ｄａ＝０とおくと、ａの値は

　　　ａ0＝ｈ^2／ｍｅ^2＝０．５２８オングストローム

　　　　　　　　　　　　＝０．５２８×１０^-10ｍ　　　　(2.12)

　となる。この距離をボーア半径とよぶ。

　(2.12)のａ0の値を(2.10)に代入するとエネルギーが分かる。

　　　Ｅ0＝−ｅ^2／２ａ0＝−ｍｅ^4／２ｈ^2＝−１３．６ｅＶ　　　(2.13)

　水素原子をイオン化するには上記のエネルギーが必要。

・原子を押しつぶそうとすると、電子はもっと狭い空間内に押し込められる。
　不確定性原理により、その平均運動量は大きくなり、エネルギーは高くなる。
　原子の圧縮に対する抵抗力は、量子力学的効果によるものであり、古典力学的効果ではない。

2-5　エネルギー順位

・原子はその定常状態において、ある一定のエネルギーだけをもちうる。
　電子は原子に束縛されているときは、任意の値をとれず、許されたエネルギーのうちのどれか一つの値をとる。

・許されるエネルギーの値を、Ｅ0、Ｅ1、Ｅ2、Ｅ3と書く。
・励起状態にある電子は、光の形でエネルギーを放出してより低いエネルギー状態に落ち着く。

・Ｅ3からＥ1の状態に転位するときに解放される光の振動数

　　　ω31＝（Ｅ3−Ｅ1）／ｈ'　　　　　(2.14)

　これは、その原子に特有の振動数であり、これがその原子から放出される光のスペクトル線を与える。

　Ｅ3からＥ0の場合の振動数は

　　　ω30＝（Ｅ3−Ｅ0）／ｈ'　　　　　(2.15)

　Ｅ1からＥ0は

　　　ω10＝（Ｅ1−Ｅ0）／ｈ'　　　　　(2.16)

　(2.14)、(2.15)、(2.16)より

　　　ω30＝ω31＋ω10　　　　　(2.17)

　である。

・２個のスペクトル線があるとき、それらの振動数の和（または差）のところにもう一本の別のスペクトル線が存在する。
・すべてのスペクトル線は、ある一対のエネルギー順位のエネルギー差に対応する。
・(2.17)の関係をリッツの結合則という。