ｲｱﾝ・ｽﾁｭｱｰﾄ 著 徳田 功 訳 「不確実性を飼いならす」ﾒﾓ
イアン・スチュアート著 徳田 功訳
「不確実性を飼いならす 予測不能な世界を読み解く科学」メモ
４ コイン投げ
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【まとめ】
・異なるｎ個の集合からｒ個を選ぶ組み合わせの総数は n!/r!(n-r)! で与えらえる。
・ x + y のべき展開した係数と順列組み合わせ問題には関係がある
・コイン投げは決定的な力学的プロセスで、ランダムネスを作り出すのはコイン投げをする人間。
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・ベルヌーイ試行：二つの結果が出るゲームを繰り返す（例：表か裏が出るコイン投げ）
・順列・組み合わせとして知られる数え上げの公式を用いて答えた。
・代数学の２項定理
２項からなる式 x + y をべき展開する問題と組み合わせが関係する。(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 +4xy^3 + y^4
の各項の係数は組み合わせで表される。
・大数の法則：膨大な試行を行うとき、特定の事象が起こる回数は、試行回数にその事象が起こる確率をかけたものに非常に近くなる。
・実験の背後に存在する確率を、割合を用いて推定することが、大数の法則で理論的に正当化できる。
★表と裏の系列を並べる
・１０回コインを投げて、表（○）と裏（●）が出た結果。●○●●●○●○○●
・この系列には４つの表と６つの裏がある。
・４対６の比率の結果が出る確率はいくつか？・最初のコイン投げ：1/2の等しい確率で○か●が出る。
・最初の２回のコイン投げ：○○、○●、●○、●●のうちのどれかが出る。→それぞれの起こる確率は1/4
・最初の３回のコイン投げ：それぞれの起こる確率は1/8
・最初の４回のコイン投げ：それぞれの起こる確率は1/16
・表の出る回数に従い、何通りの系列があるかリストを作る。０回 １通りの系列 ●●●●
１回 ４通りの系列 ○●●●、●○●●、●●○●、●●●○
２回 ６通りの系列 ○○●●、○●○●、○●●○、●○○●、●○●○、●●○○
３回 ４通りの系列 ○○○●、○○●○、○●○○、●○○○
４回 １通りの系列 ○○○○
・１０回のコイン投げの例の最初の４回は●○●●であり、○が出たのは１回だけ。
・○が１回でるのは、１６ある可能性のうち４通りの系列
→確率は4/16 = 1/4
・○が２回、●が２回出るのは、６通りの可能性なので、確率は6/16 = 3/8
・表と裏は等しい確率で出るが、表と裏が２回ずつ出る確率は1/2より小さい。
★順列と組み合わせ
・順列：いくつかの記号や物を順番に並べる方法。
・A、B、Cという記号の並べ方は６通りある。ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA
・並べ方の総数は
3!=3x2x1=6
・６つの文字A、B、C、D、E、Fから任意の４文字を並べる方法が何通りあるか。
・４文字を並べる方法6 x 5 x 4 x 3 = 360
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1/(2 x 1) = 6!/2! = 720/2 = 360
・５２枚のカードから１３枚を選び出す方法の総数（５２枚から１３枚を選ぶ組み合わせの総数）52!/13!39! = 52!/13!(52-13)!
・代数演算：異なるｎ個の集合からｒ個を選ぶ組み合わせの総数
n!/r!(n-r)!
・２項係数：(x + y)^4を展開した各項の係数は１、４、６、４、１で、これはコイン投げを４回行い、表が出る回数が０回、２回、３回、４回になる並べ方の総数と同じ。
★コインとサイコロの確率分布
・コインを１０回投げたときの１０２４通りの○と●の系列
・○が４回でる系列は２１０通りある。
・４つの○が現れる位置は１、２、３、・・・１０の中から４つの数字を選んで表せる。
→１０個の数字から４個を選ぶ組み合わせの数10!/4!(10-4)! = 10!/4!6! =210
・同様の計算を繰り返すと、すべての組み合わせが求まる。
10!/0!10!=1, 10!/1!9! = 10, 10!/2!8! = 45,・・・
・これらの数字の一般的形状を考える。
・最初は小さな値から始まり、真ん中で最大、再び小さくなる。
・真ん中を中心に左右対称になる。
・確率変数：起こりうる事象に幅があるシステムに対し、ランダムに計測して得られる値
・確率分布：確率変数がとる値と、その値をとる確率を結びつけて表したもの
★コイン投げはランダムか？
・コイン投げを高い精度で制御できる機械がある。
→コイン投げはあらかじめ決められた力学的プロセス（ランダムではない）
・等しい確率を作り出すのは投げる操作ではない。
・コイン投げをする人間が、コインをはじく前に親指に載せるとき、無意識にランダムネスを作っている。
★サイコロ投げはランダムか？
・サイコロの初期配置が重要
・１の面が上になった状態でサイコロを転がすと、１が出る回数が他の面よりわずかに多くなる。
・従来の仮定：サイコロが公平であれば、それぞれの目が出る確率は1/6 = 0.167・理論モデル：テーブルが柔らかく、サイコロが跳ねない極端な条件では、開始時に上を向いていた面が転がしたあとも上を向いている確率は0.558
→0.167よりはるかに大きい値
・４回から５回跳ねると仮定すると、確率は0.199
・空中で高速回転する、着地後に約20回はねる場合に0.167に近づく
