行列演算だの偏微分が出てきて、ずい分久しぶりにお目にかかるな...。
- 作者: トランスナショナルカレッジオブレックス
- 出版社/メーカー: ヒッポファミリークラブ
- 発売日: 1991/08
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ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ ｶﾚｯｼﾞ ｵﾌﾞ ﾚｯｸｽ編 「量子力学の冒険」
第三話 ＜W.Heisenberg＞ 「量子力学の誕生」メモ
☆正準な交換関係
・マトリックスの計算を使うと Bohrの量子条件
∫ｐｄｑ＝ｎｈ
と Newtonの運動方程式
Ｆ＝ｍｑ’’
を書き換えることができ、３つの利点がある。１．「エネルギーの保存則」がどんな場合でも成り立つことが証明できる。
２．「Bohrの振動数関係」がどんな場合でも成り立つことが証明できる。
３．問題が「固有値問題」になる。
Bohrの量子条件を量子力学の形に書きかえると次式となる。
∫ｐｄｑ＝ｎｈ
↓
Σ[τ]Ｐ（ｎ；ｎ−τ）Ｑ（ｎ−τ；ｎ）−Σ[τ]Ｑ（ｎ；ｎ＋τ）Ｐ（ｎ＋τ；ｎ）
＝ｈ／（２πｉ）
マトリックスの記号で書くと次式となる。
Σ[ｎ’’]Ｐｎｎ’’Ｑｎ’’ｎ−Σ[ｎ’’]Ｑｎｎ’’Ｐｎ’’ｎ
＝ｈ／（２πｉ）
マトリックスのかけ算ルール
（ｘｙ）ｎｎ’＝Σ[ｎ’’]ｘｎｎ’’ｙｎ’’ｎ’
から考えると上の式はＰＱ、ＱＰのかけ算のｎｎ要素（対角線要素）になっている。
式をかきかえると次式となる。
（ＰＱ）ｎｎ−（ＱＰ）ｎｎ＝ｈ／（２πｉ）
ｎｎ要素以外の要素が全て０になるとする。
（ＰＱ）ｎｎ’−（ＱＰ）ｎｎ’＝ｈ／（２πｉ） （ｎ＝ｎ’）
０ （ｎ≠ｎ’）
対角要素だけが値を持ち、あとは全部０になるマトリックスを「対角線マトリックス」
と言う。
｜ｈ／（２πｉ） ０ ０ ・・・｜
｜ ０ ｈ／（２πｉ） ０ ・・・｜
｜ ０ ０ ｈ／（２πｉ） ・・・｜
｜ ・ ・ ・ ・・・｜
｜１ ０ ０ ・・・｜
＝ｈ／（２πｉ）｜０ １ ０ ・・・｜
｜０ ０ １ ・・・｜
｜・ ・ ・ ・・・｜
＝（ｈ／（２πｉ））１
対角線要素だけが１で、あとは全部０のマトリックスを単位マトリックスと言い１と書く。
マトリックス・・・ＰＱ−ＱＰ＝（ｈ／（２πｉ））１
マトリックス要素・・（ＰＱ）ｎｎ’−（ＱＰ）ｎｎ’＝（ｈ／（２πｉ））δｎｎ’
δｎｎ’：クロネッカーデルタ（ｎ＝ｎ’の時１、ｎ≠ｎの時０）
小文字のｐ、ｑで表される遷移成分がどんな関係をもつのか見る。
（ｐｑ−ｑｐ）ｎｎ’＝Σ[ｎ’’]ｐｎｎ’’ｑｎ’’ｎ’
−Σ[ｎ’’]ｑｎｎ’’ｐｎ’’ｎ’
＝Σ[ｎ’’]Ｐｎｎ’’ｅ^i2πνｎｎ''t Ｑｎ’’ｎ’ｅ^i2πνｎ''ｎ't
−Σ[ｎ’’]Ｑｎｎ’’ｅ^i2πνｎｎ''t Ｐｎ’’ｎ’ｅ^i2πνｎ''ｎ't
＝Σ[ｎ’’]Ｐｎｎ’’Ｑｎ’’ｎ’ｅ^i2πνｎｎ't
−Σ[ｎ’’]Ｑｎｎ’’Ｐｎ’’ｎ’ｅ^i2πνｎｎ't
＝（Σ[ｎ’’]Ｐｎｎ’’Ｑｎ’’
−Σ[ｎ’’]Ｑｎｎ’’Ｐｎ’’ｎ’）ｅ^i2πνｎｎ't
＝（ＰＱ−ＱＰ）ｎｎ’・ｅ^i2πνｎｎ't
＝（ｈ／（２πｉ））δｎｎ’・ｅ^i2πνｎｎ't
ここでｅ^i2πνｎｎ'tは、ｎ＝ｎ’のときｅ^i2πνｎｎt＝ｅ^0＝１となり、
ｎ≠ｎ’のときはδｎｎ’が０になる。
まとめると以下となる。
ｐｑ−ｑｐ＝（ｈ／（２πｉ））１
（ｐｑ−ｑｐ）ｎｎ’＝（ｈ／（２πｉ））δｎｎ’
δｎｎ’＝１ （ｎ＝ｎ’）
＝０ （ｎ≠ｎ’）
・マトリックスのかけ算ではＡ×Ｂ≠Ｂ×Ａとなり、かけ算の交換法則は成り立たない。
・マトリックスのかけ算において順番を変えたとき、それがどのようになるかを与える
のが先ほどの式であり、これが「正準な交換関係」と呼ばれる。
ｐｑ−ｑｐ＝（ｈ／（２πｉ））１
・マトリックスｐとｑのかけ算の順番を変えた時の差がｈ／（２πｉ）になると決めている。
・正準な交換関係は「微分」の役割を果たす
マトリックスｐ、ｑの関数
ｆ（ｐ、ｑ）＝２ｐ＋３ｑ^2＋ｐｑ
を考える。これをマトリックスｑで「偏微分」すると次式となる。
（ｐはふつうの数と同じとみなして微分する）∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｑ＝６ｑ＋ｐ
次式を偏微分する。
ｐｆ（ｐ、ｑ）−ｆ（ｐ、ｑ）ｐ＝ｐ（２ｐ＋３ｑ^2＋ｐｑ）
−（２ｐ＋３ｑ^2＋ｐｑ）ｐ
＝２ｐ^2＋３ｐｑ^2＋ｐ^2ｑ−２ｐ^2ー３ｑ^2ｐ−ｐｑｐ
＝３（ｐｑ^2−ｑ^2ｐ）＋ｐ（ｐｑ−ｑｐ）
ここで、正準な交換関係 ｐｑ−ｑｐ＝（ｈ／（２πｉ））１ を使うと次式となる。
＝３（ｐｑ^2−ｑ^2ｐ）＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
＝３（（ｐｑ）ｑ−ｑ^2ｐ）＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
正準な交換関係より、ｐｑ＝ｑｐ＋（ｈ／（２πｉ））１ なので
＝３（（ｑｐ＋ｈ／（２πｉ））ｑ−ｑ^2ｐ）＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
＝３（ｑｐｑ＋（ｈ／（２πｉ））ｑ−ｑ^2ｐ）＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
＝３（（ｈ／（２πｉ））ｑ＋ｑ（ｐｑ−ｑｐ））＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
正準な交換関係を使うと
＝３（（ｈ／（２πｉ））ｑ＋ｑ（ｈ／（２πｉ）））＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
＝３（ｈ／（２πｉ））２ｑ＋（ｈ／（２πｉ））ｐ
＝ｈ／（２πｉ）（６ｐ＋ｑ）
よって、
ｐｆ（ｐ、ｑ）−ｆ（ｐ、ｑ）ｐ＝ｈ／（２πｉ）（６ｐ＋ｑ）
となる。
∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｑ＝６ｑ＋ｐ
正準な交換関係
ｐｆ（ｐ、ｑ）−ｆ（ｐ、ｑ）ｐ＝ｈ／（２πｉ）（６ｐ＋ｑ）
まとめると
∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｑ＝（（２πｉ）／ｈ）（ｐｆ−ｆｐ）
同じようにｆ（ｐ、ｑ）をｐで微分すると
∂ｆ（ｐ、ｑ）／∂ｐ＝（（２πｉ）／ｈ）（ｑｆ−ｆｑ）
