トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第四話 ＜L.V.de Broglie　E.Schrodinger＞ 「新しい描像」メモ

＜展開定理＞
・複雑な電子の波は本当に単純なφのたし合わせから作れるか

・空間と時間の関数Ψが次式で表すことできるかを「φnはお互いに直交している」
ことから証明する。

　　　Ψ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Σ[n]Ａnφn(ｘ,ｙ,ｚ)ｅ^-i2πνnt

・規格化したφを使うためΨも規格化したψのたし合わせになる。

　　　ψ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Σ[n]Ａnφn(ｘ,ｙ,ｚ)ｅ^-i2πνnt

　　　Ｃn(ｔ)＝Ａnｅ^-i2πνnt

　とすると、ψは次式となる

　　　ψ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Σ[n]φn(ｘ,ｙ,ｚ)Ｃn(ｔ)

　　ψは「複雑な電子の波」のことなので、「複雑な電子の式」を満たさなければ
　ならない。

　　　∇^2ψ＋４πｉɱ∂ψ／∂ｔ−８π^2 ɱɎψ＝０

　　ψを上式に代入する。

　　　∇^2Σ[n]φnＣn(ｔ)＋４πｉɱ∂／∂ｔ（Σ[n]φnＣn(ｔ))

　　　　　　　　−８π^2 ɱɎΣ[n]φnＣn(ｔ)＝０

　　　Σ[n](Ｃn(ｔ)(∇^2φn−８π^2 ɱɎφn)＋４πｉɱ ∂Ｃn(ｔ)／∂ｔφn)＝０

　　　Σ[n](−８π^2 ɱνnφnＣn(ｔ)＋４πｉɱ ∂Ｃn(ｔ)／∂ｔφn)＝０

　　　Σ[n](−ｉ2πνnＣn(ｔ)−∂Ｃn(ｔ)／∂ｔ)φn＝０

　　上式が成り立つためには、

　　　−ｉ2πνnＣn(ｔ)−∂Ｃn(ｔ)／∂ｔ＝０

　なので次式となる。

　　　∂Ｃn(ｔ)／∂ｔ＝−ｉ2πνnＣn(ｔ)

　　よって、

　　　Ｃn(ｔ)＝Ａnｅ^-i2πνnt

　が証明された。

・振幅Ａnを求める

　　　ψ(ｘ,ｙ,ｚ,ｔ)＝Σ[n]Ａnφn(ｘ,ｙ,ｚ)ｅ^-i2πνnt

　　ｆ(ｘ)がどんな形であれ、φn(ｘ)の振幅Ａnは

　　　Ａn＝∫ｆ(ｘ)φn*ｄｘ

　というようにして取り出せた。それは、ｆ(ｘ)は単純な波φnのたし合わせで、

　　　ｆ(ｘ)＝Σ[n]Ａnφn

　で表せたから。

　　ｔ＝０のときのφ(ｘ,０)はどう表せるか見る。

　　　φ(ｘ,０)＝Σ[n]Ａnφn・ｅ^-i2πνn0＝Σ[n]Ａnφn

　　よって次式となる。

　　　φ(ｘ,０)＝Σ[n]Ａnφn＝ｆ(ｘ)

　　一般にφは時間と空間の関数になるが、φ(ｘ,０)は空間のみの関数であり、
　先ほどのｆ(ｘ)と同じように考えることができる。

　　Ａnは、

　　　Ａn＝∫ｆ(ｘ)φn*ｄｘ

　なので、次式となる。

　　　Ａn＝∫ｆ(ｘ)φn*ｄｘ

　　　　　＝∫φ(ｘ,０)φn*ｄｘ

　　固有関数Φnの振幅Ａnはｔ＝０のときの複雑な電子の波φ(ｘ,０)から展開で
　きる。

第五話 ＜E.Schrodinger＞ 「さらば、マトリックス」メモ

・波のことば（シュレディンガーの式）に粒のことば（ハイゼンベルクの式）
が含まれていることを示す

・Hookeの場に従う場合（単振動）で考える。

＜ハイゼンベルクの式を単振動の場合の形にする＞

　　　Ｈ(Ｐ0，Ｑ0)ξ−Ｗξ＝０

　　　Ｈ(Ｐ0，Ｑ0)＝Ｐ0^2／(2ｍ)＋Ｖ(Ｑ0)

　　Ｖは位置エネルギーで、単振動の場合の位置エネルギーＶは

　　　Ｖ(Ｑ0)＝ｋＱ0^2／２

　なので、ハイゼンベルクの式は次式に書きかえられる。

　　　(Ｐ0^2／２ｍ＋ｋＱ0^2／２)ξ−Ｗξ＝０

＜シュレディンガーの式を単振動の場合の形にする＞

　　　∇^2φ＋８π^2 ɱ（ν−Ɏ）φ＝０

　　まず、Ɏ＝Ｖ／ｈ、ɱ＝ｍ／ｈ、ν＝Ｅ／ｈを使い単振動のポテンシャルＶと
　同じものをいれられるようにする。

　　　∇^2φ＋８π^2 ｍ／ｈ（Ｅ／ｈ−Ｖ／ｈ）φ＝０

　　　∇^2φ＋８π^2 ｍ（Ｅ−Ｖ）φ／ｈ^2＝０

　　Ｖ＝ｋｘ^2／２を代入すると次式となる。

　　　∇^2φ＋８π^2 ｍ（Ｅ−ｋｘ^2／２）φ／ｈ^2＝０

＜シュレディンガーのHookeの場の式をハイゼンベルクの式の形に似させる＞

　　∇^2(＝∂^2／∂ｘ^2＋∂^2／∂ｙ^2＋∂^2／∂ｚ^2）をｘの方向だけに
　ついて考える。

　　　(ｄ^2／ｄｘ^2)φ＋８π^2 ｍ（Ｅ−ｋｘ^2／２）φ／ｈ^2＝０

　　　(−ｈ^2／(８π^2ｍ))(ｄ^2／ｄｘ^2)φ−(Ｅ−ｋｘ^2／２）φ＝０

　　　(−ｈ^2／(８π^2ｍ))(ｄ^2／ｄｘ^2)φ＋ｋｘ^2・φ／２−Ｅφ＝０

　　　( (−ｈ^2／(８π^2ｍ))(ｄ^2／ｄｘ^2)＋ｋｘ^2／２)φ−Ｅφ＝０

　　　(((−ｈ^2／４π^2)・ｄ^2／ｄｘ^2)／２ｍ＋ｋｘ^2／２)φ−Ｅφ＝０

　　−１＝ｉ^2、ｄ^2／ｄｘ^2＝ｄ／ｄｘ・ｄ／ｄｘなので、次式となる。

　　　((ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ）^2／２ｍ＋ｋｘ^2／２）φ−Ｅφ＝０

　　ハイゼンベルクのHookeの場の式と比べる。

　　　(Ｐ0^2／２ｍ＋ｋＱ0^2／２)ξ−Ｗξ＝０

・記号のおさらい

記号	名前	意味
Ｐ0,Ｑ0	マトリックス	行列の集まり
ξ	ベクトル	向きと大きさをもつ
ＷとＥ	エネルギー	エネルギー
ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ	演算子	関数へ働きかけるもの

・ハイゼンベルクとシュレディンガーの式の対応

	ハイゼンベルク	シュレディンガー	意味
行列	Ｐ0	ｈ／２πｉ・ｄ／ｄｘ	演算子
行列	Ｑ0	ｘ	演算子
ベクトル	ξ	φ	関数
エネルギー	Ｗ	Ｅ	エネルギー

・演算子：関数に働かせると新しい関数をつくるもの

　演算子をＡ、もとの関数をｆ(ｘ)、新しい関数をｇ(ｘ)とすると

　　　Ａｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)

・マトリックス：ベクトルに働かせると新しいベクトルをつくる

　マトリックスをＡ、ベクトルをη、新しいベクトルをζとすると

　　　Ａη＝ζ

＜演算子の足し算とマトリックスの足し算＞

・ある演算子ＡとＢの足し算

　(Ａ＋Ｂ)とは、それがある関数ｆ(ｘ)に働いたときに

　　　(Ａ＋Ｂ)ｆ(ｘ)

　　ＡとＢがそれぞれに別々に関数ｆ(ｘ)に働いたものの足し算

　　　Ａｆ(ｘ)＋Ｂｆ(ｘ)

　になるようなものの働き部分だけをまとめたもの。

　　　(Ａ＋Ｂ)ｆ(ｘ)＝Ａｆ(ｘ)＋Ｂｆ(ｘ)

・あるマトリックスＡとＢの足し算

　　(Ａ＋Ｂ)とは、それがあるベクトルηに働いたときに

　　　(Ａ＋Ｂ）η

　　ＡとＢがそれぞれ別にベクトルηに働いたものの足し算

　　　Ａη＋Ｂη

　になるようなものの働き部分だけをまとめたもの。

⇒演算子の足し算が関数にする働きとマトリックスの足し算がベクトルにする
　働きは等しい

＜演算子のかけ算とマトリックスのかけ算＞

・ある演算子ＡとＢのかけ算

　　(ＡＢ)とは、それがある関数ｆ(ｘ)に働いたとき

　　　(ＡＢ)ｆ(ｘ)

　　まずＢをｆ(ｘ)に働かせ、その結果できた新しい関数にＡを働かす

　　　Ａ(Ｂｆ(ｘ))

　　という２度の働きをｆ(ｘ)への１度の働きにまとめたもの。

・あるマトリックスＡとＢのかけ算

　　(ＡＢ)とは、それがあるベクトルηに働いたとき

　　　(ＡＢ)η

　　まずＢをηに働かせ、その結果できた新しいベクトルにを働かす

　　　Ａ(Ｂη)

　　という２度の働きをηへの１度の働きにまとめたもの。

⇒演算子のかけ算が関数にする働きとマトリックスのかけ算がベクトルにする
　働きは等しい