トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

量子力学の冒険

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第四話 ＜L.V.de Broglie　E.Schrodinger＞ 「新しい描像」メモ

＜箱の中の電子＞

・電子の波の方程式のɎがどうなるか考える。

　　　∇^2Φ＝−８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φ

　自由空間の場合と同じで「何の力も働かない」ので、Ɏ＝０であり、「箱の中の電子の波の
方程式」は次式となる

　　　∇^2Φ＝−８π^2 ɱνΦ　・・・（Ｃ）

・箱の中の波のkxはπ/Lずつ整数倍に、とびとびに増えるので

　　　kx＝ｎxπ／L　　　（ｎ＝１，２，３・・・）

・箱の中にある波は両端が０になるｓｉｎ波なので、

　　　Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Ａｎxｎyｎzｓｉｎ（ｎxπ／L）ｘ・ｓｉｎ（ｎyπ／L）ｙ

　　　　　　　　　　　　　　　・ｓｉｎ（ｎzπ／L）ｚ

　上式を（Ｃ）式に代入する。

　左辺の

　　　∇^2Φ＝∂^2Φ／∂ｘ^2＋∂^2Φ／∂ｙ^2＋∂^2Φ／∂ｚ^2

　の∂^2Φ／∂ｘ^2を求める。

　　　∂^2Φ／∂ｘ^2＝−（ｎxπ／Ｌ）^2Ａｎxｎｎzｓｉｎ（ｎxπ／L）ｘ

　　　　　　　　　　　　・ｓｉｎ（ｎyπ／L）ｙ・ｓｉｎ（ｎzπ／L）ｚ

　　　　　　　　　　＝−（ｎxπ／Ｌ）^2Φ

　ｙ方向、ｚ方向も同じなので、

　　　∇^2Φ＝∂^2Φ／∂ｘ^2＋∂^2Φ／∂ｙ^2＋∂^2Φ／∂ｚ^2

　　　　　　＝−（（ｎxπ／Ｌ）^2＋（ｎyπ／Ｌ）^2＋（ｎzπ／Ｌ）^2）Φ

　「箱の中の電子の波の方程式」と比べる。

　　　∇^2Φ＝−８π^2 ɱνΦ

　　　∇^2Φ＝−（（ｎxπ／Ｌ）^2＋（ｎyπ／Ｌ）^2＋（ｎzπ／Ｌ）^2）Φ

　⇒（ｎxπ／Ｌ）^2＋（ｎyπ／Ｌ）^2＋（ｎzπ／Ｌ）^2＝８π^2 ɱν

　よって次式とり、振動数が求まる。

　　　ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2＝８ɱＬ^2ν

　　　ν＝（ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2）／（８ɱＬ^2）

・上式のｎx、ｎy、ｎzは「ｓｉｎ波の山の数」を表し、１、２、３・・・の「整数倍の値」
が入る。

・それに応じて振動数νも「とびとび」の値になり、「箱の中」など特定の状態の中にある
ためとびとびの値を取る振動数νを「固有値」と呼ぶ。

・Ψを求める

　　　Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Φ（ｘ、ｙ、ｚ）ｅ^-i2πνt

　　　Φ（ｘ、ｙ、ｚ）＝Ａｎxｎyｎzｓｉｎ（ｎxπ／L）ｘ・ｓｉｎ（ｎyπ／L）ｙ

　　　　　　　　　　　　　　　・ｓｉｎ（ｎzπ／L）ｚ

　なので、

　　　Ψ（ｘ、ｙ、ｚ、ｔ）＝Ａｎxｎyｎzｓｉｎ（ｎxπ／L）ｘ・ｓｉｎ（ｎyπ／L）ｙ

　　　　　　　　　　　　　　　・ｓｉｎ（ｎzπ／L）ｚｅ^-i2πνt

　ただし

　　　ν＝（ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2）／（８ɱＬ^2）

・エネルギーＥを求める

　　　Ｅ＝ｈν

　　　　＝ｈ×（ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2）／（８ɱＬ^2）

　ここで、ｍ＝ｈɱ⇒ɱ＝ｍ／ｈより、

　　　Ｅ＝（ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2）×ｈ^2／（８ｍＬ^2）

・これは、ボーアの求めた「箱の中の電子」のエネルギーと同じ

＜箱の中の電子（粒編）＞

・電子のエネルギー（Ｅ）は、運動エネルギー（Ｋ）と位置エネルギー（Ｖ）を足したもの
なので、次式となる。

　　　Ｅ＝Ｋ＋Ｖ

・電子は「箱」の中の力は受けない空間にあるので、Ｖ＝０となる。

　　　Ｅ＝Ｋ

　Ｋ＝（ｍｖ^2）／2なので、

　　　Ｅ＝（ｍｖ^2）／2

　３次元空間なので、

　　　Ｅ＝（ｍｖx^2）／2＋（ｍｖy^2）／2＋（ｍｖz^2）／2

　ｐ＝ｍｖ（運動量＝質量×速さ）なので、

　　　Ｅ＝（ｐx^2）／２ｍ＋（ｐy^2）／２ｍ＋（ｐz^2）／２ｍ　・・・（Ｄ）

となる。

・量子条件を「箱の中」の条件に合わせて書きかえる。

　　量子条件　∫ｐｄｑ＝ｎｈ（ｎ＝１、２、３・・・）

・箱の中での一周期分は、箱の中で電子が左端から右端まで行って、はね反って左端に戻る
までの距離なので、一周期は１辺Ｌ[m]の箱の１往復分で０から２Ｌとなる

　箱の中の量子条件は次式となる。

　　　∫[0→2L]ｐｄｑ＝ｎｈ（ｎ＝１、２、３・・・）

　よって

　　　２Ｌ・ｐ＝ｎＨ

　　　ｐ＝（ｎｈ）／２Ｌ

　　　ｐx＝（ｎxｈ）／２Ｌ、y＝（ｎyｈ）／２Ｌ、z＝（ｎzｈ）／２Ｌ

　これを（Ｄ）式に代入して整理すると次式となり、シュレーディンガーの理論から求めた
エネルギーと等しくなる。

　　　Ｅ＝（ｎx^2＋ｎy^2＋ｎz^2）×ｈ^2／（８ｍＬ^2）

＜フックの場＞

・フックの場：中心に向かって引っ張る力が働いている場
　（力の働き方がバネと同じになるような場）

　　　Ｆ＝−ｋｘ

　Ｆ：戻ろうとする力
　−：引っ張られる向きと逆向き
　ｋ：バネの強さ
　ｘ：つりあった点からの距離

・フックの場の位置エネルギー
・位置エネルギーは、どれだけの距離、どれぐらいの力をかけて引っ張ったかで決まる。

　位置エネルギーＶは次式で表される。

　　　Ｖ＝−∫[0→x]Ｆｄｘ

　バネの力の場合の位置エネルギーＶは、

　　　Ｖ＝−∫[0→x]Ｆｄｘ

　　　　＝−∫[0→x]−ｋｘｄｘ

　　　　＝∫[0→x]ｋｘｄｘ

　　　　＝（ｋｘ^2）／２

となる。

　Ɏは

　　　Ｖ＝ｈɎ

　　　Ɏ＝Ｖ／ｈ

なので、フックの場でのɎは

　　　Ɏ＝（ｋ／２ｈ）ｘ^2

となる。

・式を整理する

・Φは３次元（ｘ、ｙ、ｚ）の空間に拡がる波であるが、計算を簡略化するため、
１次元（ｘ方向）だけで考える

　　　∇^2Φ＝∂^2Φ／∂ｘ^2＋∂^2Φ／∂ｙ^2＋∂^2Φ／∂ｚ^2　←３次元

　　　ｄ^2Φ（ｘ）／ｄｘ^2　←１次元

　電子の波の方程式

　　　∇^2Φ＝−８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φ　

は、

　　　ｄ^2Φ（ｘ）／ｄｘ^2＝−８π^2 ɱ（ν−Ɏ）Φ（ｘ）

となる。
　上式に

　　　Ɏ＝（ｋ／２ｈ）ｘ^2

を代入すると、

　　　ｄ^2Φ（ｘ）／ｄｘ^2＝（−８π^2 ɱν＋(４π^2ɱｋ／ｈ)ｘ^2）Φ

　ここで、

　　　８π^2 ɱν＝λ　（λは波長ではない）

　　　４π^2ɱｋ／ｈ＝α^2

の置き換えをすると次式となる。

　　　ｄ^2Φ（ｘ）／ｄｘ^2＝（−λ＋α^2ｘ^2）Φ

　さらに置き換えをする。

　　　αｘ^2＝ξ^2

　⇒　ｘ＝ξ／√（α）

　これを代入すると次式となる。

　　　ｄ^2Φ（ξ）／ｄ（ξ／√（α））^2＝（−λ＋αξ^2）Φ（ξ）

　　　ｄ^2Φ（ξ）／ｄξ^2＝（−λ／α＋ξ^2）Φ（ξ）

　さらに置き換えをする。

　　　λ／α＝ａ

　「フックの場での電子の波の方程式」は置き換えにより次式となる。

　　　ｄ^2Φ（ξ）／ｄξ^2＝（−ａ＋ξ^2）Φ（ξ）

・Φのあたりをつける

　　　Φ＝ｅ^-(ξ^2)/2

・Φを２階微分して（−ａ＋ξ^2）Φ（ξ）の形になればよい。

　１階微分すると

　　　ｄΦ／ｄξ＝ｄ／ｄξｅ^-(ξ^2)/2＝２・（−ξ／２）・ｅ^-(ξ^2)/2

　　　　　　　　　＝−ξｅ^-(ξ^2)/2

　２階微分する。

　　　ｄ／ｄｘ（ｆ（ｘ）・ｇ（ｘ））

　　　　　　　　＝ｄ／ｄｘｆ（ｘ）・ｇ（ｘ）＋ｆ（ｘ）・ｄ／ｄｘｇ（ｘ）

　より、

　　　ｄ^2Φ／ｄξ^2＝ｄ／ｄξ（ｄΦ／ｄξ）

　　　　　　　　　　＝ｄ／ｄξ（−ξｅ^-(ξ^2)/2）

　　　　　　　　　　＝−ｅ^-(ξ^2)/2＋ξ^2・ｅ^-(ξ^2)/2

　　　　　　　　　　＝（−１＋ξ^2）ｅ^-(ξ^2)/2

・あたりをつけたΦと電子の波の方程式のΦの形を比べる

　　　ｄ^2Φ／ｄξ^2＝（−１＋ξ^2）Φ

　　　ｄ^2Φ／ｄξ^2＝（−ａ＋ξ^2）Φ

・ａ＝１のときしか同じ形にならない

・ｅ^-(ξ^2)/2・ｆ（ξ）を２階微分したときに（−ａ＋ξ^2）Φ・ｆ（ξ）となるような
関数を探す

　　　Φ＝ｅ^-(ξ^2)/2・ｆ（ξ）

　このΦを「フックの場の場合の電子の波の方程式」に代入する。

　　　ｄ^2Φ／ｄξ^2＝（−ａ＋ξ^2）Φ

　１階微分

　　　ｄΦ／ｄξ＝ｄ／ｄξ（ｅ^-(ξ^2)/2・ｆ（ξ））

　　　　　　　　＝−ξｅ^-(ξ^2)/2・ｆ（ξ）＋ｅ^-(ξ^2)/2・ｄ／ｄξｆ（ξ）

　２階微分

　　　ｄ^2Φ／ｄξ^2＝ｄ／ｄξ（−ξｅ^-(ξ^2)/2・ｆ（ξ）

　　　　　　　　　　　　　　　　＋ｅ^-(ξ^2)/2・ｄ／ｄξｆ（ξ））

＝（（ξ^2−１)ｆ(ξ)−２ξ・ｄ／ｄξｆ(ξ)＋ｄ^2／ｄξ^2ｆ(ξ))ｅ^-(ξ^2)/2

　右辺に代入して整理すると

　　　ｄ^2／ｄξ^2ｆ（ξ）＝（１−ａ）ｆ（ξ）＋２ξｄ／ｄξｆ（ξ）

・テイラー展開で置き換える

　　　ｆ（ｘ）＝Ｃ0＋Ｃ1ｘ＋Ｃ2ｘ^2＋Ｃ3ｘ^3＋・・・＝Σ[n=0→∞]Ｃnｘ^n

　Ｃ0、Ｃ1、Ｃ2・・・それぞれの係数がわかればｆ（ｘ）がどんな形になるかわかる。

・ｆ（ξ）をテイラー展開の形に置く

　　　ｆ（ξ）＝Ｃ0＋Ｃ1ξ＋Ｃ2ξ^2＋Ｃ3ξ^3＋・・・＝Σ[n=0→∞]Ｃnξ^n

　ｆ（ξ）の１階微分ｄｆ（ξ）／ｄ（ξ）は、

　　　ｄ／ｄξｆ（ξ）＝０＋Ｃ1＋２Ｃ2ξ＋３Ｃ3ξ^2＋・・・

となり、両辺にξをかけると次式となる。

　　　ξｄ／ｄξｆ（ξ）＝０＋Ｃ1ξ＋２Ｃ2ξf^2＋３Ｃ3ξ^3＋・・・

　　　　　　　　　　　　　＝Σ[n=0→∞]ｎＣnξ^n

　さらにｄ／ｄξｆ（ξ）を微分してｄ^2／ｄξ^2ｆ（ξ）を求める。

　　　ｄ^2／ｄξ^2ｆ（ξ）＝０＋０＋２・１・Ｃ2＋３・２Ｃ3ξ＋４・３Ｃ4ξ^2＋・・・

　　　　　　　＝（０＋２）（０＋１）Ｃ0+2ξ^0＋（１＋２）（１＋１）Ｃ1+2ξ^1

＋（２＋２）（２＋１）Ｃ2+2ξ^2＋・・・

　　　　　　　＝Σ[n=0→∞]（ｎ＋２）（ｎ＋１）Ｃn+2ξ^n

　よって

　　　Σ[n=0→∞]（（ｎ＋２）（ｎ＋１）Ｃn+2−（１−ａ＋２ｎ）Ｃn）ξ^n＝０

となる。

・全てのｎに対して

　　　（ｎ＋２）（ｎ＋１）Ｃn+2−（１−ａ＋２ｎ）Ｃn＝０

　⇒　（ｎ＋２）（ｎ＋１）Ｃn+2＝（１−ａ＋２ｎ）Ｃn

の場合にだけ上式が成り立つ。

・整理すると次式となる。

　　　Ｃn+2＝（２ｎ＋１−ａ）Ｃn／（(ｎ＋２)(ｎ＋１)）　(ｎ＝０、２、３、・・・)

　⇒Ｃ0が分かれば、偶数の係数が全てわかり、Ｃ1が決まれば奇数の項が全部わかる。

・２ｎ＋１−ａ＝０→ａ＝２ｎ＋１　（ｎ＝０、１、２、３・・・）
となるものであればＣnは０となる。

・ｎ＝偶数の時

　　　Φn(ξ)＝（１＋(１−ａ)ξ^2／２！＋(５−ａ)(１−ａ)ξ^4／４！

　　　　　　　　＋(９−ａ)(５−ａ)(１−ａ)ξ^6／６！＋・・・）ｅ^-(ξ^2)/2

　ｎ＝４のときａ＝９となればＣ6から後の係数は全て０になる。

　その時のΦn（ξ）は

　　　Φ4（ξ）＝（１＋−８ξ^2／２！＋(−４・−８)ξ^4／４！）ｅ^-(ξ^2)/2

　　　　　　　　＝（１−４ξ^2＋４ξ^4／３）ｅ^-(ξ^2)/2

となる。

・ｎ＝奇数の時

　　　Φn(ξ)＝（ξ＋(３−ａ)ξ^3／３！＋(７−ａ)(３−ａ)ξ^5／５！

　　　　　　　　＋(１１−ａ)(７−ａ)(３−ａ)ξ^7／７！＋・・・）ｅ^-(ξ^2)/2

　ｎ＝５のときａ＝１１となればＣ7から後の係数は全て０になる。

　その時のΦn（ξ）は

　　　Φ5（ξ）＝（ξ＋−８ξ^2／３！＋(−４・−８)ξ^5／５！）ｅ^-(ξ^2)/2

　　　　　　　　＝（ξ−４／３ξ^3＋１４ξ^5／１５）ｅ^-(ξ^2)/2

となる。

・固有値νを求める

　　　ａ＝２ｎ＋１

　　　λ／α＝２ｎ＋１

　　　８π^2ɱνn／√（４π^2ɱｋ／ｈ）＝２ｎ＋１

　⇒　νn＝（１／２π）√（ｋ／ɱｈ）（ｎ＋１／２）　（ｎ＝０、１，２，３・・・）

・エネルギーを求める

　　　Ｅ＝ｈνn

　これにフックの場の固有値を代入する。

　　　Ｅ＝（ｈ／２π）√（ｋ／ɱｈ）（ｎ＋１／２）

　ｍ＝ｈɱなので

　　　Ｅ＝（ｈ／２π）（ｎ＋１／２）√（ｋ／ｍ）

　√（ｋ／ｍ）＝２πνなので、

　　　Ｅ＝（ｎ＋１／２）ｈν

となる。