トランスナショナル カレッジ オブ レックス編 「量子力学の冒険」

量子力学の冒険

　午前中は弟家族を送って車で扇沢まで行って、午後は昼寝して読書した。台風の影響はたいしたことなくて良かった。

ﾄﾗﾝｽﾅｼｮﾅﾙ　ｶﾚｯｼﾞ　ｵﾌﾞ　ﾚｯｸｽ編　「量子力学の冒険」

第四話 ＜L.V.de Broglie　E.Schrodinger＞ 「新しい描像」メモ

＜水素原子＞

・水素原子の場合、Ɏは次式となる。

　　　Ɏ＝−ｅ^2／ｈ・１／ｒ

・水素原子の中での電子の波の方程式は次式となる。

　　　∇^2Φ＋８π^2 ɱ（ν＋ｅ^2／ｈ・１／ｒ）Φ＝０

　解は次式となる。

　　　Φ（ｒ、θ、φ）＝ＡＰ[l m]（ｃоｓθ）ｅ^imφＦ[n l]（ｒ）

・複雑な電子の波

・振動数νnの時のΨn、その振幅をＡnとすると、Ψnは

　　　Ψn＝ＡnΦnｅ^-i2πνnt

と表せる。

・複雑な電子の波をΨとすると次式となる。

　　　Ψ＝Σ[n]ＡnΦnｅ^-i2πνnt

・上式が「展開できる」ことを証明できれば、複雑な波は単純な波のたし合わせであること
が言える。

・フーリエ級数

　　　ｆ(ｔ)＝ａ0＋ａ1ｃоｓωｔ＋ｂ1ｓｉｎωｔ＋ａ2ｃоｓ2ωｔ＋ｂ2ｓｉｎ2ωｔ・・

　　　　　　＝ａ0＋Σ[n=1,∞](ａnｃоｓｎωｔ＋ｂnｓｉｎｎωｔ）

　
　ｓｉｎ波とｃоｓ波を足し合わすことによりどんな複雑な波でも表すことができる。

　⇒「どんな複雑な波」でも、それをｓｉｎ波とｃоｓ波に「分解できる」

・フーリエ展開では、複雑な波f(ｔ)に含まれる単純な波、ｓｉｎ１ωｔの振幅を知りたい
とき、複雑な波f(ｔ)に取り出したい波（ｓｉｎ１ωｔ）をかけて１周期分の面積を調べれば
分かる。

　⇒f(ｔ)を構成している単純な波１本１本にｓｉｎ１ωｔをかけて面積を求めるのと同じ。

・フーリエ展開すると、同じ形の波同士をかけたときにだけ、面積は０にならず、違う形の
波をかけた時には面積が０になる。

　⇒自分以外のものとかけ算してその面積を求めると０になる場合、それらの波は
　　「お互いに直交している」という。

　　①f(ｔ)に振幅が１の単純な波をかけて面積を求める。
　　②それぞれの波が直交しているために、かけたのと同じ振動数の波以外の場合は
　　　　面積は全部０になる。
　　③かけたのと同じ振動数の波だけが取り出せる。

　　　　⇒次々にf(ｔ)にいろいろな振動数の単純な波をかけていけば分解できる。

・Ψ＝Σ[n]ＡnΦnｅ^-i2πνntがどんな複雑な波でも表せるかを確かめるため、単純な
電子の波のそれぞれが直交していることを証明する。

・まずは空間だけの関数Φnが直交しているかを確かめる

・異なる単純な波ΦnとΦn'（ｎ≠ｎ’）が直交しているとは、ΦnとΦn'をかけて面積が０
となればよいので、次式で表せる。

　　　∫[A→B]ΦnΦ*n'ds　＝０（ｎ≠ｎ’）、≠０（ｎ＝ｎ’）

　Φnは複素数の場合もあるので、面積を求めるため複素共役*を使う。

・１次元で考える
・Φnは電子の波の方程式?を満たす

　　　ｄ^2Φn／ｄｘ^2＋８π^2ɱ（νn−Ɏ）Φn＝０　・・・①

　Φn'についても同じ

　　　ｄ^2Φn'／ｄｘ^2＋８π^2ɱ（νn−Ɏ）Φn'＝０

Φn'の複素共役をとる

　　　ｄ^2Φ*n'／ｄｘ^2＋８π^2ɱ（νn−Ɏ）Φ*n'＝０　・・・②

　?と?を操作して目標の形（∫[A→B]ΦnΦ*n'ds＝０）に近づける。

　?、?を移項して、?にはΦn'を、?にはΦnを両辺にかける。

　　　ｄ^2ΦnΦ*n'／ｄｘ^2＝−８π^2ɱ（νn−Ɏ）ΦnΦ*n'　・・・①’

　　　ｄ^2Φ*n'Φn／ｄｘ^2＝−８π^2ɱ（νn−Ɏ）Φ*n'Φn　・・・②’

　①’−②’を計算する。

　　　ｄ^2ΦnΦ*n'／ｄｘ^2−ｄ^2Φ*n'Φn／ｄｘ^2

　　　　＝−８π^2ɱνnΦnΦ*n'＋８π^2ɱɎΦnΦ*n'

　　　　　　　＋８π^2ɱνnΦ*n'Φn−８π^2ɱɎΦ*n'Φn

　　　　＝−８π^2ɱ（νn−νn'）ΦnΦ*n'

　両辺を積分する

　　　∫[A→B]（ｄ^2ΦnΦ*n'／ｄｘ^2−ｄ^2Φ*n'Φn／ｄｘ^2）ｄｘ

　　　　　＝−８π^2ɱ（νn−νn'）∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘ

　左辺の第１項は

　　　∫[A→B](ｄ^2ΦnΦ*n'／ｄｘ^2)ｄｘ＝　∫[A→B]Φ*n'(ｄ^2Φn／ｄｘ^2)ｄｘ

　　　　＝[Φ*n'・ｄΦn／ｄｘ](A→B)−∫[A→B](ｄΦ*n'／ｄｘ)・(ｄΦn／ｄｘ)ｄｘ

　左辺の第２項は、

　　　∫[A→B](ｄ^2Φ*n'Φn／ｄｘ^2)ｄｘ＝　∫[A→B]Φn(ｄ^2Φ*n'／ｄｘ^2)ｄｘ

　　　　＝[Φn・ｄΦ*n'／ｄｘ](A→B)−∫[A→B](ｄΦn／ｄｘ)・(ｄΦ*n'／ｄｘ)ｄｘ

　左辺全体を計算すると、

　　　左辺＝[Φ*n'・ｄΦn／ｄｘ](A→B)−[Φn・ｄΦ*n'／ｄｘ](A→B)

　この式のＡ、ＢのΦnは境界条件によりΦn(Ａ)＝０、Φn(Ｂ)＝０となるところを指すので

　　　[Φ*n'・ｄΦn／ｄｘ](A→B)＝０、[Φn・ｄΦ*n'／ｄｘ](A→B)＝０

　となる。

　左辺＝０であり、

　　　−８π^2ɱ（νn−νn'）∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘ＝０

　⇒　（νn−νn'）∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘ＝０

　となる。

　ｎ≠ｎ’の場合、

　　　νn≠νn'より、νn−νn'≠０

　となる。

　左辺全体が０になる為には、∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘが０でなくてはならない。

　よって、ｎ≠ｎ’の時、

　　　∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘ＝０

　ｎ＝ｎ’の場合

　　　νn＝νn'なので　νn−νn'＝０

　となる。

　よって、ｎ＝ｎ’の時、

　　　∫[A→B]ΦnΦ*n'ｄｘ≠０

　となる。

　以上より、

　　　∫[A→B]ΦnΦ*n'ds　＝０（ｎ≠ｎ’）、≠０（ｎ＝ｎ’）

　が証明された。

・規格化する

　Φのかわりに規格化したφを使うと、直交の公式は

　　　∫φnφ*n'ds　＝０（ｎ≠ｎ’）、≠０（ｎ＝ｎ’）

となる。