ファインマン物理学Ⅰ 力学

　せっかくの休みなのに一日中雨だった。読書してゴロゴロして終わり。

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学Ⅰ　力学
第８章　運動 メモ

8-1　運動の記述
・物体の変化を支配する法則を見出すには、それらの変化を記述し、それを記録
する方法が必要

・観測しやすいのはその位置が時間によってどう変わるかということ⇒運動

・点の運動から考える
・一方向の運動を考える

8-2　スピード
・スピードの求め方：ある非常に短い時間内にどれだけ進むかを求め、それを時間
で割る

・スピードを正確に求めようとすればするほど、時間としていっそう短いものをと
らなくてはならない

＜微分学＞
・微小な距離とそれに対応する微小な時間を考えてその比をつくり、時間を短く
短くしたら、この比がどうなるかをみること

・進んだ距離をそれに要した時間で割って、時間が無限に短くなったときの極限を
求める

　　ある短い時間εの間に物体が距離ｘだけ進むとすると、速度ｖは次式となる。

　　　ｖ＝ｘ／ε

　　εを小さくとればとるほど近似は高くなり、εが小さくなったときの極限が
　速度となる。

　　　ｖ＝lim(ε→0)ｘ／ε

8-3　微分係数としての速さ
・εはΔｔ、ｘはΔｓで表す

・Δｔはｔの増分を表し、その値をどんどん小さくできる意味を含んでいる
・Δｓも同様の意味をもつ

　速度ｖはΔｓ／ΔｔでΔｔが小さくなった極限に等しい。

　　　ｖ＝lim(Δt→0)Δｓ／Δｔ

　　運動している物体の距離の変化は、速度と時間間隔をかけあわせたものに
　等しく、Δｓ＝ｖΔｔである。ただし、Δｔの間に速度が変化しないときに
　限られ、Δｔが０に近づく極限においてのみ正しい。⇒ｄｓ＝ｖｄｔ

　　　ｖ＝lim(Δt→0)Δｓ／Δｔ＝ｄｓ／ｄｔ

　　ｄｓ／ｄｔをｔに関するｓの導関数という。

　　ｓ＝Ａｔ^3＋Ｂｔ＋ｃという関数を考える。

　　ΔｔをつかってΔｓを表すことを考える

　　　ｓ＋Δｓ＝Ａ（ｔ＋Δｔ）^3＋Ｂ（ｔ＋Δｔ）＋Ｃ

　　　　＝Ａｔ^3＋Ｂｔ＋Ｃ＋３Ａｔ^2Δｔ＋ＢΔｔ＋３Ａｔ(Δｔ)^2＋(Δｔ)^3

　であるが、ｓ＝Ａｔ^3＋Ｂｔ＋ｃなので

　　　Δｓ＝３Ａｔ^2Δｔ＋ＢΔｔ＋３Ａｔ(Δｔ)^2＋(Δｔ)^3

　　Δｔでわると

　　　Δｓ／Δｔ＝３Ａｔ^2＋Ｂ＋３ＡｔΔｔ＋(Δｔ)^2

　が得られ、Δｔが０に近づくと、Δｓ／Δｔの極限はｄｓ／ｄｔなので

　　　ｄｓ／ｄｔ＝３Ａｔ^2＋Ｂ

8-4　積分としての距離
・与えられた速度から距離を求める

・Δｓ＝ｖΔｔの式からそのスピードで行けばどれだけの距離を進んだかがわかる

・全体の距離は小さい距離を全部加えた和になり、ｓ＝ΣｖΔｔである

・全体の距離は、ある時刻ｉ番目の時刻における速度にΔｔをかけたものの和

　　　ｓ＝Σ(i)ｖ(ｔi)Δｔ

　　　ｔi+1＝ｔi＋Δｔ

　　時間を短くとるほど和は正確になる。真のｓは

　　　ｓ＝lim(Δｔ→0)Σ(i)ｖ(ｔi)Δｔ

　　積分記号を使って

　　　ｓ＝∫ｖ(ｔ)ｄｔ

8-5　加速度
・速度の変化、速度はどう変わるか？
　⇒加速度

・加速度はｄｖ／ｄｔと書ける（速度が距離の導関数）

　　一つの物体が静止の状態から一定の加速度ｇで動くとすると、任意の時刻ｔに
　おける速度ｖは

　　　ｖ＝ｇｔ

　で与えられ、この時間内に動く距離は

　　　ｓ＝ｇｔ^2／２

　速度はｄｓ／ｄｔであり、加速度は速度を時間について微分したものなので

　　　ａ＝ｄ／ｄｔ（ｄｓ／ｄｔ）＝ｄ^2ｓ／ｄｔ^2

・３次元の運動
　　速度のｘ、ｙ、ｚ方向の成分は、

　　　ｖx＝ｄｘ／ｄｔ、ｖy＝ｄｙ／ｄｔ、ｖz＝ｄｚ／ｄｔ

　　Δｔの間に動く距離はΔｘ〜ｖxΔｔであり、縦に動く距離はΔｙ〜ｖyΔｔ
　であり、実際に動いた距離は

　　　Δｓ〜√（(Δｘ)^2＋(Δｙ)^2）

　　この間隔内における速度を求めるにはΔｔでわってΔｔを０に近づければよい

　　　ｖ＝ｄｓ／ｄｔ＝√（(ｄｘ／ｄｔ)^2＋(ｄｙ／ｄｔ)^2）

　　　　　＝√（ｖx^2＋ｖy^2）

　　３次元の場合は

　　　ｖ＝√（ｖx^2＋ｖy^2＋ｖz^2）