ファインマン物理学Ⅰ 力学

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ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学Ⅰ　力学
第１５章　特殊相対性理論　メモ

15-1　相対性理論

　ニュートンの第２法則は

　　　Ｆ＝ｄ(ｍｖ)／ｄｔ

であり、ｍが一つの定数であるという暗黙の過程の上にたっているが、
この仮定は正しくない

　アインシュタインの修正式

　　　ｍ＝ｍ0／√(1−ｖ^2／ｃ^2)

　　　ｍ0：静止質量（物体が運動していないときの質量）

　　　c：光の速さ（3x10^8 m/x）

・相対原理：運動している系の中でいろいろな実験をすると、そのすべてについて
物理法則が静止しているときのものと同じである

　⇒本当か？

15-2　ローレンツ変換

　　　ｘ’＝ｘ−ｕｔ／√(1−ｕ^2／ｃ^2)

　　　ｙ’＝ｙ

　　　ｚ’＝ｚ

　　　ｔ＝(ｔ−ｕｘ／c^2)／√(１−ｕ^2／ｃ^2)

・すべての物理法則は、ローレンツ変換をしたときに不変であるようなものである
べき

15-3　マイケルソン‐モーレイの実験

・仮想的なエーテルの中で地球がどのくらいの絶対速度で運動しているかを定め
ようとして行われた実験で、結果として地球の速度は求められなかった

・物体は運動していると収縮し、その収縮は運動の方向のみに起こるとすると
マイケルソン-モーレイの実験の失敗の説明ができた

・絶対速度を決定する方法はない

15-4　時間の変換

・時間も収縮する

15-5　ローレンツ収縮

・Ｓ’系がＳ系の相対的にｕｔという距離を運動したとすると、Ｓ系の観測者が
その座標系で同じ点をはかれば、その距離は

　　　ｘ＝ｘ’√(１−ｕ^2／ｃ^2)＋ｕｔ

にある、すなわち

　　　ｘ’＝(ｘ−ｕｔ)／√(１−ｕ^2／ｃ^2)

15-6　同時性

・Ｓ’系でそれに対応する時刻ｔ1'とｔ2'との間には

　　　ｔ2'−ｔ1'＝ｕ(ｘ1−ｘ2)／ｃ^2／√(１−ｕ^2／ｃ^2)

・離れた場所における同時性の非成立

15-7　４元ベクトル

・座標回転の場合

　　　ｘ’＝ｘｃоｓθ＋ｙｓｉｎθ

　　　ｙ’＝ｘｃоｓθ−ｙｓｉｎθ

・ローレンツ変換においても新しいｘ’にはｘとｔがまじり、新しいｔ’には
ｔとｘがまじる

・ローレンツ変換は回転に似る（ただし、空間と時間における回転）

　　　ｘ’^2＋ｙ’^2＋ｚ’^2−ｃ^2ｔ’^2＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2−ｃ^2ｔ^2

・三つの成分はふつうのベクトルの成分と似るが、それに加えて第４の成分が
あり、これは時間成分に対応する

・三つの空間成分はふつうの運動量に似て、第４の成分の時間成分はエネルギー
にあたる

15-8　相対論的力学

・ローレンツ変換をすると力学の法則はどのような形になるか？

・力とは運動量の変化であるというニュートンの法則から出発する

　　　Ｆ~＝ｄ(ｍｖ~)／ｄｔ

　相対性理論でも運動量はｍｖであるが、新しいｍを使うと次式となる

　　　ｐ~＝ｍｖ~＝ｍ0ｖ~／√(１−ｖ^2／ｃ^2)

　これがニュートンの法則に対するアインシュタインの修正。

・運動量の式にこの修正を入れれば、運動量の保存はやはり成立する。

・相対性理論において、物体が得るのは速さではなく、運動量

・質量が相対性理論的に変化すると、どんな結果を生ずるか？

・小さな容器に入っている気体の分子運動を考える。
　気体を熱すると分子の速さが大きくなり、質量も大きくなり、気体が重くなる。
　速度が小さい場合に質量の増加をあらわす近似式を求めるには

　　　ｍ0／√(１−ｖ^2／ｃ^2)＝ｍ0(１−ｖ^2／ｃ^2)^-1/2

　を二項定理を使ってべき級数に展開する。

　　　ｍ0(１−ｖ^2／ｃ^2)^-1/2

　　　　　　＝ｍ0(1＋(1／2)ｖ^2／ｃ^2＋(3/8)ｖ^4／ｃ^4＋・・・)

　ｖが小さいときにはこの級数の収束ははやく、はじめの２、３項以下は無視
できる

　　　ｍ≒ｍ0＋(ｍ0ｖ^2／２)(１／ｃ^2)

　右辺の第２項は分子運動による質量増加を示す。

　ｍ0ｖ^2／２はニュートンの旧式の意味での運動エネルギーなので、気体全体の
質量増加は運動エネルギーの増加をｃ^2でわったものに等しく、

　　　Δｍ＝?(Ｋ．Ｅ．)／ｃ^2

であるといってもよい。

15-9　質量とエネルギーは同じものである

・アインシュタインは質量は全エネルギーをｃ^2でわったものに等しいことに
すれば、一つの物体の質量は次式となるのではないかと考えた

　　　ｍｃ^2＝ｍ0ｃ^2＋ｍ0ｖ^2／２＋・・・

　左辺は一つの物体の全エネルギーを表す。
　右辺の最後の項はふつうの意味での運動エネルギー
　ｍ0ｃ^2はこの物体の全エネルギーの一部、すなわち静止エネルギーといわれて
いる内在エネルギー

・エネルギーが時間によって変わる割合は、力かける速度

　　　ｄＥ／ｄｔ＝Ｆ~・ｖ~

　また

　　　Ｆ＝ｄ(ｍｖ)／ｄｔ

　　　Ｅ＝ｍｃ^2

　であるので

　　　ｄ(ｍｃ^2)／ｄｔ＝ｖ~・ｄ(ｍｖ~)／ｄｔ

　　　ｃ^2(２ｍ)ｄｍ／ｄｔ＝２ｍｖｄ(ｍｖ)／ｄｔ

　　　ｃ^2ｄ(ｍ^2)／ｄｔ＝ｄ(ｍ^2ｖ^2)／ｄｔ

　二つの量の微分係数が等しければ、その量自身には定数Ｃの差があるだけなので

　　　ｍ^2ｃ^2＝ｍ^2ｖ^2＋Ｃ

　ｖ＝０の場合の質量をｍ0とすると

　　　ｍ0^2＝０＋Ｃ

　　　ｍ^2ｃ^2＝ｍ-2ｖ^2＋ｍ0^2ｃ^2

　　　ｍ^2(１−ｖ^2／ｃ^2）＝ｍ0^2

　　　ｍ＝ｍ0／√(１−ｖ^2／ｃ^2)