ファインマン物理学Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第２０章　３次元空間における回転

20-1　３次元のトルク

・xy、yzおよびzx平面の三つのトルクがわかっていれば、他のどんな平面のトルク
も角運動量も、これらのもののある組み合わせとして書き表すことができる

・３次元のトルク

　　　τxy＝ｘＦy−ｙＦx,

　　　τyz＝ｙＦz−ｚＦy,

　　　τzx＝ｚＦx−ｘＦz

　　　τx'y'＝ｘ’Ｆy'−ｙ’Ｆx',

　　　τy'z'＝ｙ’Ｆz'−ｚ’Ｆy',

　　　τz'x'＝ｚ’Ｆx'−ｘ’Ｆz'

　　一つの座標軸がｚ軸とｚ’軸とは同じであるようにしてある一定の角度θ
　まわったとする。

　　　ｘ’＝ｘｃоｓθ＋ｙｓｉｎθ、

　　　ｙ’＝ｙｃоｓθ−ｘｓｉｎθ、

　　　ｚ’＝ｚ

　　　力はベクトルであるから、ｘ、ｙ、ｚと同じ変換を受ける。

　　　Ｆx’＝Ｆxｃоｓθ＋Ｆyｓｉｎθ

　　　Ｆy’＝Ｆyｃоｓθ−Ｆxｓｉｎθ、

　　　Ｆz’＝Ｆz

　　　上式より、

　　　τx'y'＝(ｘｃоｓθ＋ｙｓｉｎθ)(Ｆyｃоｓθ−Ｆxｓｉｎθ)

　　　　　　−(ｙｃоｓθ−ｘｓｉｎθ)(Ｆxｃоｓθ＋Ｆyｓｉｎθ)

　　　　　　　＝ｘＦy−ｙＦx

　　　　　　　＝τxy

　　　τy'z'＝τyzｃоｓθ＋τzxｓｉｎθ

　　　τz'x'＝τzxｃоｓθ−τyzｓｉｎθ

・３次元ではトルクは一つのベクトルになる

・ａ~とｂ~がベクトルであるとき、ａxｂy−ａyｂxを計算し、それをある新しい
量ｃのｚ成分であるとみなすと、この新しい量はベクトルｃ~を形作る。

　　　ベクトル積：ｃ~＝ａ~×ｂ~

　　　ｃx=ａyｂz−ａzｂy,

　　　ｃy=ａzｂx−ａxｂz,

　　　ｃz=ａxｂy−ａyｂx

・ベクトル積の演算

　　　ｂ~×ａ~＝−ａ~×ｂ~

　　　ａ~×ａ~＝０

・ベクトルｃ~はａ~とｂ~のいずれにも直角

・ａ~とｂ~がふつうのベクトルであるとすると、これらは極ベクトル

　例）座標ｒ~、力Ｆ~、運動量ｐ~、速度ｖ~、電解Ｅ~

・その定義の中にベクトル積が一つだけ入ってきているベクトルは軸ベクトル、
あるいは疑似ベクトルという

　例）トルクτと角運動量Ｌ~、角速度ω、磁界Ｂ~

・ベクトル積に関するすべての規則

　（１）　ａ~×(ｂ~＋ｃ~)＝ａ~×ｂ~＋ａ~×ｃ~、

　（２）　(αａ~)×ｂ＝α(ａ~×ｂ~)、

　（３）　ａ~・(ｂ~×ｃ~)＝(ａ~×ｂ~)・ｃ~、

　（４）　ａ~×(ｂ~×ｃ~)＝ｂ~・(ａ~・ｃ~)−ｃ・(ａ・ｂ)、

　（５）　ａ~×ａ~＝０、

　（６）　ａ~・(ａ~×ｂ~)＝０

20-2　ベクトル積を用いた回転の方程式

・トルクは位置のベクトルと力のベクトルの積

　　　τ~＝ｒ~×Ｆ~

・粒子が１個だけのとき角運動量ベクトルは原点からの距離に運動量をかけたもの

　　　Ｌ~＝ｒ~×ｐ~

・３次元の回転に対してニュートンの法則Ｆ~＝ｄｐ~／ｄｔに対応する力学的法則
は、トルクベクトルは角運動量ベクトルが時間的について変化する割合である

　　　τ~＝ｄＬ~／ｄｔ

・ある系へ外部からはたらくトルクは、全角運動量が時間に対して変化する割合に
等しい

　　　τext~＝ｄＬtot~／ｄｔ

・角速度ωはベクトルであり、剛体にはたらいているトルクによって消費されてい
る仕事率は次式となる

　　　Ｐ＝τ~・ω~

・剛体中の粒子の速度

　　　ｖ~＝ω~×ｒ~

・コリオリの力

　　　Ｆc~＝２ｍｖ~×ω~

20-3　ジャイロスコープ、20-4　剛体の角運動量

　難しくてよくわからんので、パス．．．