ファインマン物理Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第２章　ベクトル場の微分　メモ

2-1　物理学を理解するには

・法則を表す正確な唯一の方法は、微分方程式を使う方法

2-2　スカラー場とベクトル場；Ｔとｈ~

＜ベクトル代数＞

　Ａ~・Ｂ~＝スカラー＝ＡxＢx＋ＡyＢy＋ＡzＢz　　　　(2.1)

　Ａ~×Ｂ~＝ベクトル、　　　　　　　　　　　　　　　(2.2)
　　　　(Ａ~×Ｂ~)z＝ＡxＢy−ＡyＢx、
　　　　(Ａ~×Ｂ~)x＝ＡyＢz−ＡzＢy、
　　　　(Ａ~×Ｂ~)y＝ＡzＢx−ＡxＢz

　Ａ~×Ａ~＝０　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2.3)

　Ａ~・(Ａ~×Ｂ~)＝０　　　　　　　　　　　　　　　 (2.4)

　Ａ~・(Ｂ~×Ｃ~)＝(Ａ~×Ｂ~)・Ｃ　　　　　　　　　 (2.5)

　Ａ~×(Ｂ~×Ｃ~)＝Ｂ~(Ａ~・Ｃ~)−Ｃ(Ａ~・Ｂ~)　　　(2.6)

　⊿ｆ(ｘ、ｙ、ｚ)＝(∂f/∂x)⊿ｘ＋(∂f/∂y)⊿ｙ＋(∂f/∂z)⊿ｚ　(2.7)

　∂^2f/∂x∂y＝∂^2f/∂y∂x　　　　　(2.8)

・一番簡単な物理的な場はスカラー場
・スカラー場：各点に一つの数（スカラー）が決められている場を意味する

・ベクトル場：空間の各点に一つのベクトルが決まっていて、ベクトルは点から
　　　　　　　点へ変わる

・熱の流れは方向性の量であり、ｈ~と呼ぶ
　面素⊿ａを通り単位時間あたりに通る熱エネルギーを⊿Ｊとすると

　　　ｈ~＝(⊿Ｊ／⊿ａ)ｅf　　　　(2.9)

・流れに直角な面⊿ａ1に対して傾いた小さな面⊿ａ2がある。
　単位ベクトルｎ~は面⊿ａ2に垂直で、ｎ~とｈ~の間の角θは二つの面の間の角に
　等しい。

　⊿ａ2を通る単位面積あたりの熱流は

　　　⊿Ｊ／⊿ａ2＝(⊿Ｊ／⊿ａ1)ｃоｓθ＝ｈ~・ｎ~

　法線ｎ~をもつ任意の面素を通る(単位面積当たり毎秒の)熱流はｈ~・ｎ~で与え
　られる。

2-3　場の微分

・二つの点Ｐ1とＰ2をとり、小さな間隔を⊿Ｒ、Ｐ1の温度をＴ1、Ｐ2の温度を
Ｔ2とし、その差を⊿Ｔ＝Ｔ1−Ｔ2とする。

　Ｔ1＝Ｔ(x,y,z)、Ｔ2＝Ｔ(x+⊿x,y+⊿y,z+⊿z)と書く。
　⊿x、⊿y、⊿zはベクトル⊿Ｒ~の成分を表す。

　　　⊿Ｔ~＝(∂T/∂x)⊿x＋(∂T/∂y)⊿y＋(∂T/∂z)⊿z　　　　(2.13)

　三つの数

　　　∂T/∂x、∂T/∂y、∂T/∂z

　は一つのベクトルのｘ、ｙ、ｚ成分で、このベクトルを記号∇Tと書く。
　
　　　gradＴ＝∇Ｔ＝(∂T/∂x、∂T/∂y、∂T/∂z)　　　　　(2.14)

　　　　⊿Ｔ＝∇Ｔ・⊿Ｒ~　　　　　(2.15)

　この方程式は、近くの２点における温度差はＴのgradと、点の間の変位ベクトル
　とのスカラー積に等しいことを表す。

2-4　演算子

・gradＴまたは∇Ｔがベクトルであるという議論は、どういうスカラー場を微分
するかには無関係で、Ｔの代わりにどんなスカラー場であってもすべての議論は
同じ

・微分演算子自身がベクトル成分と同様に変換されるので、ベクトル演算子という

　　　∇＝(∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)　　　　　(2.28)

　　　∇x＝∂/∂x, ∇y＝∂/∂y,　∇z＝∂/∂z　　　　(2.29)

・微分する相手を∇の右におく

・∇Ｔの方向はそれば最大値をとる方向であり、Ｔが一番はやく変化する方向
・Ｔのgradは一番大きい上り坂の方向（Ｔについて）

2-5　∇を使う演算

・「∇・(ベクトル)」の形のスカラーは発散、div(divergence)とよばれる。

　　　∇・ｈ~＝div ｈ~＝”ｈ~の発散”　　　　　(2.36)

・∇×ｈ~

　　　(∇×ｈ~)z＝∇xｈy−∇yｈx＝∂ｈy/∂x−∂ｈx/∂y　　　　(2.38)

　　　(∇×ｈ~)x＝∇yｈz−∇zｈy＝∂ｈz/∂y−∂ｈy/∂z　　　　(2.39)

　　　(∇×ｈ~)y＝∇zｈx−∇xｈz＝∂ｈx/∂z−∂ｈz/∂x　　　　(2.40)

・結合∇ｘｈ~は”ｈ~の回転curl”といわれる

・∇の３種の組み合わせ

　　　∇Ｔ＝grad Ｔ＝ベクトル

　　　∇・ｈ~＝div ｈ~＝スカラー

　　　∇×ｈ~＝curl ｈ~＝ベクトル

・マクスウェルの方程式

　（１）　∇・Ｅ~＝ρ／ε0　　　　

　（２）　∇×Ｅ~＝−∂Ｂ~／∂t　　　　　　　　　　(2.41)

　（３）　∇・Ｂ~＝０

　（４）　ｃ^2∇×Ｂ~＝∂Ｅ~／∂t＋ｊ~／ε0

2-7　ベクトル場の２階微分

　(a)　∇・(∇Ｔ)＝∇^2Ｔ＝スカラー場

　(b)　∇×(∇Ｔ)＝０

　(c)　∇(∇・ｈ~)＝ベクトル場　　　　　　　　　　　　(2.59)

　(d)　∇・(∇×ｈ~)＝０

　(e)　∇×(∇×ｈ~)＝∇(∇・ｈ~)−∇^2ｈ~

　(f)　(∇・∇)ｈ~＝∇^2ｈ~＝ベクトル場