ファインマン物理学Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第２１章　調和振動子

21-1　線形微分方程式

・定数係数をもつ微分方程式

　各項は従属変数を独立変数で微分したものに、ある定数を掛けたもの

次式は、 ｎ階の定数係数線形微分方程式（各ａiは定数）

　　　ａnｄ^nｘ／ｄｔ^n＋ａn-1ｄ^n-1ｘ／ｄｔ^n-1＋

　　　　　　　・・・＋ａ1ｄ^ｘ／ｄｔ＋ａ0ｘ＝ｆ(ｔ)

21-2　調和振動子

・定数係数を持った線形微分方程式に従った運動をする最も簡単な力学系は、
バネに取り付けたおもり

・上下方向の変位をｘ、バネは完全に線形であると仮定する。
　はたらく力は−ｋｘであり、おもさと加速度との積は−ｋｘに等しいので、

　　　ｍｄ^2ｘ／ｄｔ^2＝−ｋｘ

　　ｋ／ｍ＝１とすると、

　　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＝−ｘ

・線形微分方程式の一つの解にどんな定数を掛けても、それもまた解になる。

・線形微分方程式が成り立つ場合、運動がどんなに強いものであっても、
時間に対しては同じように変化する。

・次のような形の解をもつ

　　　ｘ＝ｃоｓω0ｔ

　　　ｄｘ／ｄｔ＝−ω0ｓｉｎω0ｔ

　　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＝−ω0^2ｃоｓω0ｔ＝−ω0^2ｘ

・ω0ｔは運動の位相で、ω0ｔを２πだけ変えるには時刻ｔはｔ0だけ変わら
なければならない。ω0ｔ0は角度の１サイクル分だけでなければならない

　　　ｔ0＝２π／ω0＝２π√(ｍ／ｋ)

・重いおもりを使えば周期は長く、強いバネを使えば周期は短くなる

・振幅は運動をどのように始めるかできまり、それを初期条件という。

　　　ｘ＝ａｃоｓω0(ｔ−ｔ1)

　　　ｃоｓ(ω0ｔ＋Δ)＝ｃоｓω0ｔｃоｓΔ−ｓｉｎω0ｔｓｉｎΔ

　　　ｘ＝Ａｃоｓω0ｔ＋Ｂｓｉｎω0ｔ

　　ただし、

　　　Ａ＝ａｃоｓΔ および Ｂ＝−ａｓｉｎΔ

　　ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＝−ω0^2ｘという微分方程式のすべての解は以下となる。

　　　(a)　ｘ＝ａｃоｓω0(ｔ−ｔ1)、

　　　(b)　ｘ＝ａｃоｓ(ω0ｔ＋Δ)、

　　　(c)　ｘ＝Ａｃоｓω0ｔ＋Ｂｓｉｎω0ｔ

　　ω0：各振動数　位相が１秒間に変化するラジアン数

　　ａ　：振幅　　おもりが到達する最大のふれ

　　Δ　：振動の位相、ある基準からみた位相のずれ

21-3　調和振動と円運動

・粒子が一定の速さｖで円運動をするならば、円の中心から粒子へ向けて引いた
動径は、時間に比例した角度だけまわる。

　　　θ＝ｖｔ／Ｒ

　　　ｄθ／ｄｔ＝ω0＝ｖ／Ｒ

　　　ａ＝ｖ^2／Ｒ＝ω0^2Ｒ

　　　ｘ＝Ｒｃоｓθ、ｙ＝ｓｉｎθ

　　　ａx＝−ａｃоｓθ＝−ω0^2Ｒｃоｓθ＝−ω0^2ｘ

・粒子が円運動しているとき、その運動の水平成分は、中心からの水平移動距離
に比例した加速度をもつ。

21-4　初期条件

・ｔ＝０のときに、はじめの変位ｘ0のところからある速度ｖ0で運動を始めた
ものとする。

　　ＡとＢを計算する

　　　ｘ＝Ａｃоｓω0ｔ＋Ｂｓｉｎω0ｔ

　　ｘを微分してｖを求める。

　　　ｖ＝−ω0Ａｓｉｎω0ｔ＋ω0Ｂｃоｓω0ｔ

　　ｔ＝０におけるｘとｖをｘ0、ｖ0とする。

　　　ｘ0＝Ａ・１＋Ｂ・０＝Ａ

　　　ｔ0＝−ω0Ａ・０＋ω0Ｂ・１＝ω0Ｂ

　　よって

　　　Ａ＝ｘ0、Ｂ＝ｖ0／ω0

・エネルギーの保存

　　　ｘ＝ａｃоｓ(ω0ｔ＋Δ)

　　　ｖ＝−ω0ａｓｉｎ(ω0ｔ＋?)

・運動エネルギーＴと、位置エネルギーＵを求める。

　　　Ｕ＝(ｋｘ^2)／２＝(ｋａ^2ｃоｓ^2(ω0ｔ＋Δ))／２

　　　Ｔ＝(ｍｖ^2)／２＝(ｍω0^2ａ^2ｓｉｎ^2(ω0ｔ＋Δ))／２

　　　Ｔ＋Ｕ＝ｍω0^2ａ^2[ｃоｓ^2(ω0ｔ＋Δ)＋ｓｉｎ^2(ω0ｔ＋Δ)]／２

　　　　　　　＝ｍω0^2ａ^2

21-5　強制振動

・強制調和振動子：外力が働いている場合

　　　ｍｄ^2ｘ／ｄｔ^2＝−ｋｘ＋Ｆ(ｔ)

　　　Ｆ(ｔ)＝Ｆ0ｃоｓωｔ

　　　ｘ＝Ｃｃоｓωｔ

　　　−ｍω^2Ｃｃоｓωｔ＝−ｍω0^2Ｃｃоｓωｔ＋Ｆ0ｃоｓωｔ

　　　ｋ＝ｍω0^2

　　　Ｃ＝Ｆ0／ｍ(ω0^2−ω^2)

・ｍは外力と同じ振動数で振動するが、その振幅は外力の振動数と振動子の
自己振動数とに依存する。