ファインマン物理学Ⅱ 光 熱 波動

ファインマン物理学〈2〉光・熱・波動

第６章　屈折率の本質

6-1　屈折率

・電気的な波が屈折率ｎの物質中を速さｃ／ｎで進むように見えるのはだいたい
正しいが、いかにして見かけ上の速さが現れるか

・薄い透明な物質の板から遠く離れたところに光源(外部光源：Ｓ)があるとする。
・この板の反対側で遠く離れたところにある一点：Ｐでの電場を調べる。

・Ｐ点での電場は、外部光源Ｓにより生ずる電場とガラス板内の各電荷により
生ずる電場とのベクトル和になり、各電場は速度ｃによるそれぞれの遅れをもつ。

・Ｐ点における電場は

　　　Ｅ~＝Σ(全電荷)Ｅ~_各電荷　　　　(6.1)

　　　Ｅ~＝Ｅs＋Σ(他のすべての電荷)Ｅ~_各電荷　　　(6.2)

　　Ｅsは外部光源だけによる電荷(正確に物質が全然存在しない場合のＰ点の電荷)

・全体の場が他の電荷の運動によってあまり変化を受けない物質を考える
　⇒屈折率が極めて１に近い物質

・ガラス板内のすべての振動する電荷によって生ずるＰ点の電場：Ｅaを計算する
・Ｅaは、6.2式の第２項として現れる項の和であり、これを光源によるＥsに加える
と、Ｐ点における全体の電場が得られる。

・板がなんの影響ももたないとすると、ｚ軸に沿って進む波の電場は

　　　Ｅs＝Ｅ0ｃоｓω(ｔ−ｚ／ｃ)　　　　　(6.3)

　　　Ｅs＝Ｅ0ｅ^iω(t-z/c)　　　　　　　　 (6.4)

　板の暑さを?ｚとすると、板を通り抜ける際の遅れを考慮に入れて、式(6.4)の
ｔを(ｔ−?ｔ)または[ｔ−(ｎ−１)?ｚ／ｃ]で置き換える

　　　Ｅ_板のうしろ＝Ｅ0ｅ^iω[t-(n-1)?z/c-z/c]　　　　(6.5)

　　　Ｅ_板のうしろ＝ｅ^-iω(n-1)?z/cＥ0ｅ^iω(t-z/c)　　(6.6)

　この式は板の背後の波が、板が存在しなかったときの波：Ｅsに、
ｅ^-iω(n-1)?z/cという因子をかけることでえられることを意味する。
つまり、位相の遅れはω(n-1)?z/cである。

　ｅ^xは近似的に(１＋ｘ)に等しくなるので、

　　　ｅ^-iω(n-1)?z/c＝１−ｉω(ｎ−１)?ｚ／ｃ　　　　　(6.7)

となり、(6.6)へ代入すると

　　　Ｅ_板のうしろ＝Ｅ0ｅ^iω(t-z/c)−

　　　　　　　　　　　　　　　(ｉω(ｎ−１)?ｚ／ｃ)Ｅ0ｅ^iω(t-z/c)

となる。

　第１項は光源からの電場を表し、第２項はＥaに等しくなる。

6-2　物質による電場

　波源Ｓが左の方に遠く離れているとすると、電場Ｅsの位相は板上のいたる
ところで同じになり、板の近くの電場は

　　　Ｅs＝Ｅ0ｅ^iω(t-z/c)　　　　　　(6.9)

　板の位置をｚ＝０とすると

　　　Ｅs＝Ｅ0ｅ^iωt　　　　　　　　　(6.10)

　電子は原子に弾性的に結びついており、力が電子に加わると、その基準の位置
からの変位が力に比例するとする。

　電子は質量ｍで共鳴各振動数ω0の振動体の性質をもつと考えると、運動法定式
は次式となる。

　　　ｍ（ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋ω0^2ｘ）＝Ｆ　　　(6.11)

　　　Ｆ＝ｑeＥs＝ｑeＥ0ｅ^iωt　　　　　　　(6.12)

　ｑeは電子の電荷。電子に対する運動方程式は

　　　ｍ（ｄ^2ｘ／ｄｔ^2＋ω0^2ｘ）＝ｑeＥ0ｅ^iωt　　　(6.13)

　その解は

　　　ｘ＝ｘ0ｅ^iωｔ　　　　　　　　　(6.14)

　これを(6.13)へ代入する

　　　ｘ0＝ｑeＥ0／(ｍ(ω0^2−ω^2))　　　(6.15)

　よって

　　　ｘ＝ｑeＥ0／(ｍ(ω0^2−ω^2))・ｅ^iωｔ　　　(6.16)

　電場Ｅaは

　　　Ｅa＝−ηｑe／２ε0ｃ[ｉωｑeＥ0／(ｍ(ω0^2−ω^2))・ｅ^iω(t-z/c)]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6.17)

　電子の駆動された運動は右方向に進行する二次的な波をつくる。

　(6.17)式が(6.8)のＥaの式と似ており、以下の関係が成り立てば二式は一致する。

　　　(ｎ−１)?ｚ＝ηｑe^2／２ε0ｍ(ω0^2−ω^2)　　　　(6.18)

　ηが単位面積当たりの原子の数であり、Ｎを板の単位体積当たりの原子数とする
と、ηはＮ?ｚである。この関係を上式に入れ、?ｚで割れば、屈折率を物質の
原子の性質と光の振動数との項で表す式が得られる。

　　　ｎ＝１＋Ｎｑe^2／２ε0ｍ(ω0^2−ω^2)　　　　（6.19）

6-3　分散

・屈折理が振動数に依存する現象を分散といい、屈折率を振動数の関数として
与える式を分散式という。

・固有振動数ωk、その減衰係数γkの電子が単位体積当たりＮk個あるとすると、
分散式は

　　　ｎ＝１＋(ｑe^2／２ε0ｍ)Σ(k)Ｎk／(ωk^2−ω^2＋ｉγkω)　　　(6.20)

6-4　吸収

　ｎを実数部分と虚数部分に分け、

　　　ｎ＝ｎ'−ｉｎ''　　　　(6.21)

と書くことができる。

　(6.6)式に複素数ｎを代入すると

　　　Ｅ_板のうしろ＝ｅ^-ωn'?z/cｅ^-iω(n'-1)?z/cＥ0ｅ^iω(t-z/c)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6.22)　

となる。　　

・最初の項は実数の指数をもつ指数関数で、１より小さい実数であり、電場の減少
を表し、?ｚが大きくなれば減少量も大きくなる。

・複素屈折率の虚数部分は波の吸収(減衰)を表し、ｎ''は吸収係数とよばれる。

6-5　電波によって運ばれるエネルギー

・電波によって単位面積を通して単位時間中に運ばれるエネルギー(強度)は、
ε0ｃＥ^2で与えられ、強度をＳとすると

　　　Ｓ＝（強度あるいはエネルギー／面積／時間）＝ε0ｃＥ^2

　となる。

6-6　スクリーンによる回折

・不透明なスクリーンの穴を光が通り抜けるとき、強さの分布（回折像）は
穴をその上に一様に分布した光源（振動体）で置き換えと考えることにより
えられる。

・回折波は穴が新しい波源になったときと全く同じになる。