ファインマン物理学Ⅲ 電磁気学

ファインマン物理学〈3〉電磁気学

第１９章　真空中のマクスウェル方程式の解　メモ

19-1　真空中の波；平面波

・マクスウェル方程式のもつ物理はスカラーとベクトルのポテンシャルを満たす
二つの微分方程式によってあらわされる

　　　∇^2φ−(１／ｃ^2)∂^2φ／∂ｔ^2＝−ρ／ε0　　　　　(19.4)

　　　∇^2Ａ~−(１／ｃ^2)∂^2Ａ~／∂ｔ^2＝−ｊ~／ε0ｃ^2　　(19.5)

　ここでρもｊ~も０とすると

　　　
　　　∇^2φ−(１／ｃ^2)∂^2φ／∂ｔ^2＝０　　　　　(19.6)

　　　∇^2Ａ~−(１／ｃ^2)∂^2Ａ~／∂ｔ^2＝０　　　　(19.7)

　自由空間ではスカラーポテンシャルφもベクトルポテンシャルＡ~のどの成分も
同じ数式をみたす。φ、Ａx、Ａy，Ａzのどれもψで代表するとする。

３次元の波動方程式

　　　∇^2ψ−(１／ｃ^2)∂^2ψ／∂ｔ^2＝０　　　　(19.8)

ψは一般にｘ、ｙ、ｚの関数であり、３個の座標についての変化を考えなくては
ならいから３次元である。ラプラス演算子の三つの項を書き下ろすと

　　　∂^2ψ／∂ｘ^2＋∂^2ψ／∂ｙ^2＋∂^2ψ／∂ｚ^2

　　　　　　−(１／ｃ^2)∂^2ψ／∂ｔ^2＝０　　　　(19.9)

　自由空間ではＥ~もＢ~も波動方程式をみたす。

　Ｂ~＝∇~×Ａ~なのでcurlをとればＢ~の微分方程式になる。ラプラス記号は
スカラー演算子なので、ラプラス演算子とcurl演算子とは交換できる。

　　　∇~×(∇^2Ａ~）＝∇^2（∇~×Ａ~）＝∇~2Ｂ~

　同様に、curl演算子と∂／∂ｔも交換できる。

　　　∇×（１／ｃ~2）∂^2Ａ~／∂ｔ~2＝（１／ｃ^2）∂^2／∂ｔ^2（∇~×Ａ~）

　　　　　　　＝（１／ｃ^2）∂^2Ｂ~／∂ｔ~2

　これらより、Ｂ~に対して次の微分方程式を得る。

　　　∇^2Ｂ~−（１／ｃ^2）∂^2Ｂ~／∂ｔ^2＝０　　　　　(19.10)

　従って磁場Ｂ~の成分はどれも３次元波動方程式をみたす。
　Ｅ~＝−∇φ−∂Ａ~／∂ｔを使うと、電場Ｅ~も自遊空間内で３次元波動方程式を
みたす。

　　　∇^2Ｅ~−（１／ｃ^2）∂^2Ｅ~／∂ｔ^2＝０　　　　　(19.11)