ファインマン物理学Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学Ⅰ　力学
第１１章　ベクトル　メモ

11-1　物理学における対称性
・対称の定義
　　一つのものにある操作を施したとき、もとと全く同一にみえるならば、
　そのものは対称であるという

・物理学の法則は平行移動に対して対称である

11-3　回転
・軸をどの方向に向けても、ちがいを生ずることはない

・ニュートンの法則がある座標系に対して成り立つならば、他のいかなる座標系
についても成り立つ

・このとは座標系の平行移動と回転について成立する

11-4　ベクトル
・ニュートンの法則以外の物理法則も、軸の平行移動と軸の回転との二つに対して
不変（対象）な性質をもつ

・スカラー：方向のない量
・ベクトル：向きをもつ量

・一つのベクトルは三つの数からなる(例えば、ｘ、ｙ、ｚ）

・符号ｒ→で三つの数ｘ、ｙ、ｚを表す

・他の座標系ｘ’、ｙ’、ｚ’を表すのにも符号ｒを使う

・座標系を変えても、方程式のなかの文字を変えないでよい

・三つの数を、系の座標系の方向におけるベクトルの成分という

　　　Ｆ~＝ｒ~

　　　Ｆx＝ｘ、Ｆy＝ｙ、Ｆz＝z

　　　Ｆx'＝ｘ'、Ｆy'＝ｙ'、Ｆz'＝z'

・ベクトル量を矢であらわし、それによってそれがはたらいている向きを示す

　　　Ｆ~＝ｋｒ~

・力はすべて長さによってあらわされる、線によってあらわされる

11-5　ベクトル代数

　　　ｃ~＝ａ~＋ｂ~

　　　ｃ~＝ｂ~＋ａ~

　　　ａ~＋(ｂ~＋ｃ~)＝(ａ~＋ｂ~)＋ｃ~

・速度はベクトル

　　　ｖ~＝ｄｒ~／ｄｔ

　　　ｖ~＝lim[Δt→0](Δｒ~／Δｔ）＝ｄｒ~／ｄｔ

11-6　ベクトル記号によるニュートンの法則
・加速度ベクトル

　　　ａ~＝ｄｖ~／ｄｔ＝(ｄ／ｄｔ)(ｄｒ~／ｄｔ）＝ｄ^2ｒ~／ｄｔ^2

　　　ａx＝ｄｖx／ｄｔ＝ｄ^2ｘ／ｄｔ^2

　　　ａy＝ｄ^2y／ｄｔ^2

　　　ａz＝ｄ^2z／ｄｔ^2

　　　ｍａ~＝Ｆ~

　　　ｍ(ｄ^2ｒ~／ｄｔ^2)＝Ｆ~

11-7　ベクトルのスカラー乗積
・ある一歩ｒ~を一つの座標系ではｘ、ｙ、ｚであらわし、他の座標系ではｘ’、
ｙ’、ｚ’であらわすならば、距離ｒ＝｜ｒ~｜はどちらでも同じで

　　　ｒ＝√(ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2)、

　　　ｒ’＝√(ｘ’^2＋ｙ’^2＋ｚ’^2)

・一つのベクトルを自乗すると、あらゆる軸について不変のスカラー量ができる

　　　ａ~・ａ~＝ａx^2＋ａy^2＋ａz^2

・ａ~・ｂ~なる量を二つのベクトルａ~とｂ~のスカラー乗積という

　　　ａ~・ｂ~＝ａxｂx＋ａyｂy＋ａzｂz

　　　ａ~・(ｂ~＋ｃ~)＝ａ・ｂ＋ａ・ｃ

　　　ａ~・ｂ~＝ａｂcos(θ)

　　ａの長さにａの方向におけるｂの成分、ｂcos(θ)をかけたもの

・運動エネルギーｍｖ^2／２をベクトルで書くと

　　　ｋ．Ｅ．＝ｍ(ｖ~・ｖ~)／２＝ｍ(ｖx^2＋ｖy^2＋ｖz^2)／２

であり、エネルギーに方向はない。

・何か物が一つの場所から他の場所におしやられたとき、力のした仕事は、
力Ｆ~が距離ｓ~だけはたらいていたときのエネルギーの変化に等しく

　　　仕事＝Ｆ~・ｓ~

・それ自身とのスカラー乗積が１に等しいベクトルを単位ベクトルという

　　　ｉ~・ｉ~＝１

・あるベクトルのｉ方向成分を求める際、ａ~・ｉ~なるスカラー乗積はａcos(θ)
であり、これはｉ~方向におけるａ~の成分

・座標系ｘ、ｙ、ｚで、ｘ方向の単位ベクトルｉ~、ｙ方向の単位ベクトルｊ~、
ｚ方向の単位ベクトルｋ~を導入すると、

　　　ｉ~・ｉ~＝１、

　　　ｉ~・ｊ~＝０、ｊ~・ｊ~＝１、

　　　ｉ~・ｋ~＝０、ｊ~・ｋ~＝０、ｋ~・ｋ~＝１

であり、どんなベクトルも次のように書ける。

　　　ａ~＝ａxｉ~＋ａyｊ~＋ａzｋ~

・ベクトルの成分からベクトル自身へ行くことができる。