ファインマン物理学Ⅰ 力学

ファインマン物理学〈1〉力学

第２２章　代数

21-1　たし算とかけ算

(a) a+b=b+a, (b) a+(b+c)=(a+b)+c,

(c) ab=ba, (d) a(b+c)=ab+ac,

(e) (ab)c=a(bc), (f) (ab)^c=c^3b^c

(g) a^ba^c=a^(b+c), (h) (a^b)^c=a^(bc),

(i) a+0=a, (j) a・1=a,

(k) a^1=a

22-2　逆演算

(a) 加法 a+b=c, (a') 減法 b=c-a,

(b) 乗法 ab=c, (b') 除法 b=c/a,

(c) 累乗 b^a=c, (c') 根 b=√(c)^a,

(d) 冪 a^b=c (d') 対数 b=log(a)c

22-4　無理数の近似

・εが非常に小さいとき

　　　10^ε=1+2.3025ε

　ｎが非常に小さいとき

　　　10^(n/2.3025)=1+n

・どんな数を底数とする対数も、10を底数とする対数に一定の数をかけたものに
過ぎない

・10を底とする全ての対数に2.3025・・・を掛けて新しい対数をつくりなおした
ものが自然対数、あるいは底数ｅ

　　　log(1+n)≈n（n→0のとき、e^n≈1+n)

22-5　複素数

・その自乗が-1である数をｉと定義する。

　　　ｉ^2＝-1

・ｐとｑを実数とすると、すべての数はｐ＋ｉｑと書け、複素数という。

・ｉという数を単位虚数、ｉを実数倍したものを純虚数という

22-6　指数が虚数の場合

・代数と幾何学との間には関連がある。

　　　ｅ^ｉθ＝ｃоｓθ＋ｉｓｉｎθ

・複素数を平面内に表せば、幾何学を代数学に関連付けることができる。

・ある点の水平方向の位置がｘ、上下方向の位置がｙとしてすべての複素数
ｘ＋ｉｙをあらわす。

・原点までの距離をｒ、その角度をθとすると、ｘ＋ｉｙはｒｅ^ｉθと書ける

　　　　　ｙ
　　　　　↑
　　　　　｜　　　　　
　　　　　｜　　　 　／｜
　　　　　｜　　 　 ／　｜
　　　　　｜ 　 ｒ／　　｜ｙ
　　　　　｜ 　 ／　　　｜
　　　　　｜／　θ　　｜
　　――――――――――――――――→ｘ
　　　　　｜　　　ｘ
　　　　　｜
　　　　　｜
　　　　　｜　　ｘ＋ｉｙ＝ｒｅ^ｉθ＝ｒｃоｓθ＋ｉｒｓｉｎθ
　　　　　｜